空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

Tohoku — 第 3 章 層に係数を持つコホモロジー

3.1. 層についての一般論

$X$ を (必ずしも分離的とは限らない) 位相空間とする. $\supset$ により順序付けられた $X$ の空でない開部分集合上に定義される集合の帰納系すべてを $X$ 上の集合の前層と呼ぶことを思い出そう (1.7 例 h). したがって前層とは, すべての開集合 $U\subset X$ に対する集合 $F(U)$ と, $U\supset V$ なる空でないすべての対 $U$, $V$ に対する制限写像 $\varphi _ {VU} \colon F(U) \to F(V)$ から成るデータであって, 次の条件を伴うものである: $\varphi _ {UU}$ が $F(U)$ の恒等写像であり, $U \supset V \supset W$ であれば $\varphi _ {WV} \varphi _ {VU} = \varphi _ {WU}$ である. 前層 $F$ がであるとは, 空でない開集合による $X$ の開集合 $U$ の被覆 $(U _ i)$ すべてと, 元 $f _ i \in F(U _ i)$ であって $U _ {ij} = U _ i \cap U _ j \neq \phi$ なるすべての対 $(i, j)$ に対して $\varphi _ {U _ {ij} U _ i} f _ i = \varphi _ {U _ {ij} U _ j} f _ j$ となるものの族 $(f _ i)$ すべてに対し, ある $f \in F(U)$ がただ一つ存在してすべての $i$ に対して $\varphi _ {U _ i U} f = f _ i$ となることである. もし前述の定義において, $F(U)$ が群 (resp. 環, etc.) であり $\varphi _ {VU}$ が準同型であると仮定すれば, の (resp. の, etc.) 前層という概念を得る; より一般に, 与えられた圏 (cf. 1.1) に値をとる前層や層という概念を定義できる. 与えられた圏に値をとる $X$ 上の前層や層は圏を成し, 射は帰納系の射として定義される. たとえばアーベル群の圏のような加法圏に値をとる $X$ 上の前層や層は加法圏を成し, アーベル群の前層や層の場合にはアーベル圏すら成す. (簡単のためアーベル群の層や前層をアーベル層やアーベル前層ということにする). しかし注意すべきは, 恒等関手はアーベル層にそれと対応するアーベル前層を結び付けるが, これは左完全だが完全ではないということである: 層の準同型 $u\colon F \to G$ があれば, 前層の準同型としての核は前層 $Q(U)=G(U)/\operatorname{Im} F(U)$ であるが, 一般には層ではない; 層の準同型としての核は前層 $Q$ (後述) に結び付けられた層である. これらの問題は, 今ではかなり知られているので (cf. [4] と Godement の著書 [9]), これ以上は強調しない.

$F$ を $X$ 上の集合の前層とする.