空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

Tohoku — 第 1 章 アーベル圏についての一般論

1.1. 圏

次のことを思い出そう. 対象 (objets) から成る空でないクラス $\mathbf{C}$ がであるとは, $A, B\in\mathbf{C}$ に対して集合 $\operatorname{Hom}(A, B)$ ($A$ から $B$ へのの集合という) が与えられ, 三つの対象 $A, B, C \in \mathbf{C}$ に対して $\operatorname{Hom}(A, B) \times \operatorname{Hom}(B, C)$ から $\operatorname{Hom}(A, C)$ への写像 $(u, v) \to vu$ (射の合成という) が与えられ, 次の二つの公理を満たすことをいう: 射の合成が結合的である; すべての $A \in \mathbf{C}$ に対して $\operatorname{Hom}(A, A)$ の元 $I_A$ ($A$ の恒等射という) が存在して射の合成について右単位的かつ左単位的である (このとき元 $I_A$ は一意に定まる). 最後に慎重を期して, 射 $u$ が与えられると, その “始点” および “終点” の対象が定まるものと仮定しよう. 換言すると, $(A, B)$ と $(A', B')$ が互いに異なる $\mathbf{C}$ の対象の対であるならば $\operatorname{Hom}(A, B)$ と $\operatorname{Hom}(A', B')$ は互いに交わらない集合である.

$\mathbf{C}$ を圏とすると, $\mathbf{C}$ と同じ対象を持ち, $A$ から $B$ への射の集合 $\operatorname{Hom}(A, B)^{\circ}$ が $\operatorname{Hom}(B, A)$ と同一であり, 元 $u$ と $v$ の合成が $\mathbf{C}$ における $v$ と $u$ の合成となるような, 双対圏 $\mathbf{C}^{\circ}$ が定義される. 一般の圏に関するすべての概念や記述は (“矢印を逆向きにすることで”) それと双対な概念や記述を持ち, 応用上も全く同程度に有用であるが, それを明示することはたいてい読者に任される.

圏 $\mathbf{C}$ と $\mathbf{C}$ の射 $u \colon A \to B$ が与えられたとする. 任意の $C \in \mathbf{C}$ に対し, 写像 $v \to uv \colon \operatorname{Hom}(C, A) \to \operatorname{Hom}(C, B)$ と写像 $w \to wu \colon \operatorname{Hom}(B, C) \to \operatorname{Hom}(A, C)$ が定まる. $u$ がモノ射または単射である (resp. $u$ がエピ射または全射である) とは, 先の二つの写像のうちの一つ目 (resp. 二つ目) が常に単射であることをいう. $u$ が全単射であるとは, $u$ が単射かつ全射であることをいう. $v \in \operatorname{Hom}(B, A)$ が $u$ の (resp. ) 逆射であるとは, $vu = I _ A$ (resp. $uv = I _ B$) が成り立つことをいう. $v$ が $u$ の逆射であるとは, 左逆射かつ右逆射であることをいう (このとき逆射は一意に定まる). $u$ が同型射であるとは, $u$ が逆射を持つことをいう. $u$ は左 (resp. 右) 逆射を持つならば単射 (resp. 全射) であり, したがって同型射は全単射である (逆は一般に成立しない).

二つのモノ射 (エピ射) の合成はモノ射 (エピ射) であるので, 二つの全単射の合成は全単射である. 同様に, 二つの同型射の合成も同型射である. 射 $u, v$ の合成 $vu$ が単射 (resp. 全射) であれば $u$ (resp. $v$) もまたそうである. たしかにこのような連鎖式*1を展開することは必要ではあるのだが, 以下ではほとんどの場合, 明示的に記述することはせず, 定義を丁寧に述べるに留める.

二つのモノ射 $u \colon B \to A$ および $u' \colon B' \to A$ を考えよう. $u'$ が $u$ を優越するまたは含むことを $u\leqq u'$ と書き, $u$ が $B$ から $B'$ への射 $v$ を用いて $u'v$ と分解できることをいう (このとき分解は一意に定まる). これは $A$ に値を取るモノ射のクラスの前順序関係である. そのような二つのモノ射 $u, u'$ が同値であるとは, 互いが他方を優越することをいい, このとき対応する射 $B \to B'$ および $B' \to B$ は互いに他方の逆射となっている. すべての同値なモノ射の成すクラスに対して (たとえば Hilbert の $\tau$ 記号を用いれば必ずできるが) 単射を一つずつ選ぶ: 選ばれたモノ射を $A$ の部分対象 (sous-trucs) という. このように $A$ の部分対象は単なる $\mathbf{C}$ の対象ではなく, 標準的入射というモノ射 $u \colon B \to A$ を備えた対象 $B$ である (にもかかわらず, 語の濫用によって $A$ の部分対象をしばしば対応する $\mathbf{C}$ の対象 $B$ で表す). 優越関係は $A$ の部分対象のクラスに (単なる前順序ではなく) 順序関係を定める. 上で見たように部分対象 $B$ に含まれる $A$ の部分対象は $B$ の部分対象と同一視され, この対応は自然な順序関係を保つ (しかしながら, これは $B$ の部分対象が $A$ の部分対象と等しいことを意味せず, そのためには $A = B$ が必要である).

双対として, $A$ からのエピ射のクラスにおける前順序を考えることで, 順序構造を持つ $A$ の商対象 (trucs quotient) のクラスを定義できる.

$A \in \mathbf{C}$ とし, $(u _ i) _ {i \in I}$ を射 $u _ i \colon A \to A _ i$ の空でない族とする. このとき, すべての $B \in \mathbf{C}$ に対し, $\operatorname{Hom}(B, A)$ から $\operatorname{Hom}(B, A _ i)$ への写像 $v \to u _ i v$ は自然な写像

$$\operatorname{Hom}(B, A)\to\prod _ {i \in I} \operatorname{Hom}(B, A _ i).$$

を定める. $u _ i$ が $A _ i$ の直積としての $A$ の表現を定めるとは, いかなる $B$ に対してもこの写像が全単射であることをいう. 仮に今このような状況になっており, $A'$ が $A$ とは異なる $\mathbf{C}$ の対象であり, 射 $u' _ i \colon A' \to A' _ i$ (添字集合は同じとする) により $A' _ i$ の積として表現されているものとすると, このとき射 $v _ i \colon A _ i \to A' _ i$ の族 $(v _ i)$ すべてに対し, すべての $i$ に対して $u' _ i v = v _ i u _ i$ となる $A$ から $A'$ への射 $v$ が一意に存在する. 結果として $v _ i$ が同値であれば $v$ もまたそうであり, 特に $v _ i$ を恒等写像 $I _ {A _ i}$ とすると, $A _ i$ の積として表現される二つの対象 $A$ と $A'$ は標準的に同型であることがわかる. したがって, このとき上記の $(A, (u _ i))$ のすべてから (たとえば Hilbert の $\tau$ 記号を用いれば必ずできるが) 特定の系を一つ自然に選ぶことができ, これを対象の族 $(A _ i) _ {i\in I}$ のという. したがって, これは単なる $\mathbf{C}$ の対象 $A$ ではなく, $A _ i$ への射の族 $(u _ i)$ を備えているような対象であり, この族を因子 $A _ i$ 上への積からの標準的射影という. $A _ i$ の積を (存在すれば) $\prod _ {i\in I} A _ i$ で表す. $I$ の元が $i$ の一つになるならば, その積は $A _ i$ 自身と同一視される. $\mathbf{C}$ が積を伴う圏であるとは, $\mathbf{C}$ の二つの対象の積がつねに存在することをいう (このとき $\mathbf{C}$ の対象から成る空でない任意の有限族の積もまたそうである). $\mathbf{C}$ が無限積を伴う圏であるとは, $\mathbf{C}$ の対象から成る空でない任意の族の積がつねに存在することをいう. 二つの積 $A = \prod _ {i\in I} A _ i$ と $B = \prod _ {i\in I} B _ i$ が同じ添字集合 $I$ に対応するならば, 射 $A _ i \to B _ i$ の族 $(v _ i)$ が $A$ から $B$ への射 $v$ を標準的に定めることをすでに見た. これを射 $v _ i$ の積といい, 時として $\prod _ {i\in I} v _ i$ で表す. $v _ i$ がモノ射であれば, その積もまたそうであるが, エピ射に対する類似の主張は一般に正しくない (たとえば固定された位相空間上の層の成す圏上で見て取れる).

前の双対を考えることによって, 射 $u _ i \colon A _ i \to A$ (ただし, すべての $B \in \mathbf{C}$ に対して自然な写像

$$\operatorname{Hom}(A, B)\to\prod _ {i\in I} \operatorname{Hom}(A _ i, B)$$

が全単射) による対象の族 $A _ i$ の和としての対象 $A$ の表現や, 標準的入射 $A _ i \to \bigoplus _ {i \in I} A _ i$ (ただしその名に反してこれは必ずしもモノ射ではない) を備えた直和 $\bigoplus _ {i\in I} A _ i$ や, 射 $u _ i \colon A _ i \to B _ i$ の族から定まる射の和などの概念が定義できる. $u _ i$ がエピ射であればその和もまたそうである.

1.2. 関手

$\mathbf{C}$ と $\mathbf{C}'$ を二つの圏とする. 次のことを思い出そう. $\mathbf{C}$ から $\mathbf{C}'$ への共変関手とは, 対象 $A \in \mathbf{C}$ を $\mathbf{C}'$ の対象 $F(A)$ に対応させ, $\mathbf{C}$ における射 $u \colon A \to B$ に射 $F(u) \colon F(A) \to F(B)$ を対応させる “関数” で, $F(I _ A) = I _ {F(A)}$ かつ $F(vu)=F(v)F(u)$ を満たすものをいう. この類似として, $\mathbf{C}$ から $\mathbf{C}'$ への反変関手を定義できる (これはまた $\mathbf{C} ^ {\circ}$ から $\mathbf{C}'$ あるいは $\mathbf{C}$ から $\mathbf{C}'^{\circ}$ への共変関手でもある). 同様にして, あるいくつかの変数については共変で, 他のいくつかの変数については反変であるような多変数の関手すなわち多重関手を定義できる. たいていの場合, 簡単のために一変数の関手だけを考える. 関手は関数のように合成され, この合成は結合的であり “恒等関手” は単位元の役割を果たす.

$\mathbf{C}$ と $\mathbf{C}'$ を固定された圏とし, $F$ と $G$ を $\mathbf{C}$ から $\mathbf{C}'$ への共変関手とするとき, $F$ から $G$ への関手的な射 (何人かの著者は $F$ から $G$ への “自然変換” ともいう) $f$ とは, すべての $A \in \mathbf{C}$ に $F(A)$ から $G(A)$ への射 $f(A)$ を対応させる “関数” で, $\mathbf{C}$ におけるすべての射 $u \colon A \to B$ に対して, 図式

$$\begin{CD} F(A) @>F(u)>> F(B) \\ @Vf(A)VV @VVf(B)V \\ G(A) @>G(u)>> G(B) \end{CD}$$

が可換となるようなものである. 関手的な射 $F \to G$ と $G \to H$ の合成の仕方はいっそう明らかで, この合成は結合的であり, 関手 $F$ の “恒等射” は関手的な射の合成についての単位元である (したがって $\mathbf{C}$ が集合であれば, $\mathbf{C}$ から $\mathbf{C}'$ への関手は新しい圏を構成する). 最後に次のことに注意しよう. 二つの関手 $F \colon \mathbf{C} \to \mathbf{C}'$ と $G \colon \mathbf{C}' \to \mathbf{C}''$ の合成 $GF$ は形式的に $G$ と $F$ に関する双関手として振舞う: 関手的な射 $G \to G'$ (resp. $F \to F'$) は関手的な射 $GF \to G'F$ (resp. $GF \to GF'$) を定める.

圏 $\mathbf{C}$ と圏 $\mathbf{C}'$ の圏同値とは系 $(F, G, \varphi, \psi)$ であって, 共変関手

$$F \colon \mathbf{C} \to \mathbf{C}' \quad G \colon \mathbf{C}' \to \mathbf{C}$$

と, すべての対象について同型射となる*2関手的な射

$$\varphi \colon \mathbf{1} _ {\mathbf{C}} \to GF \quad \psi \colon \mathbf{1} _ {\mathbf{C}'} \to FG$$

(ここで $\mathbf{1} _ {\mathbf{C}}$ と $\mathbf{1} _ {\mathbf{C}'}$ は $\mathbf{C}$, resp. $\mathbf{C}'$ の恒等関手) から成り, すべての $A \in \mathbf{C}, A' \in \mathbf{C}'$ に対して合成

$$\begin{CD} F(A) @>F(\varphi(A))>> FGF(A) @>\psi^{-1}(F(A))>> F(A) \end{CD}$$

$$\begin{CD} G(A') @>G(\psi(A'))>> GFG(A') @>\varphi^{-1}(G(A'))>> G(A') \end{CD}$$

が $F(A)$ resp. $G(A')$ の恒等射であるものをいう. このとき, $\mathbf{C}$ のすべての対象の対 $A, B$ に対して $\operatorname{Hom}(A, B)$ から $\operatorname{Hom}(F(A), F(B))$ への写像 $f \to F(f)$ は全単射であり, この逆写像は $\operatorname{Hom}(F(A), F(B))$ から同型写像 $\varphi(A) \colon A \to GF(A)$ と $\varphi(B) \colon B \to GF(B)$ により $\operatorname{Hom}(A, B)$ と同一視される $\operatorname{Hom}(GF(A), GF(B))$ への写像 $g \to G(g)$ である. 圏の間の圏同値は関手として振舞う. 二つの圏が圏同値であるとは, 圏の間に圏同値が存在することをいう. このとき, 一般に言葉の上で両者を区別する必要はない. しかしながら, この概念と, これよりずっと強い条件である同型という概念 (これは集合となる圏を比較したいときに用いられる) との違いに注意することは重要である: $\mathbf{C}$ を空でない集合とし, すべての対象の対 $A, B \in \mathbf{C}$ に対して集合 $\operatorname{Hom}(A, B)$ の元が一つになるとき, $\mathbf{C}$ は (唯一可能な合成則 $\operatorname{Hom}(A, B) \times \operatorname{Hom}(B, C) \to \operatorname{Hom}(A, C)$ の下で) 圏となり, この方法で構成される二つの圏はつねに圏同値であるが, 濃度が等しくない限り同型ではない. 実際に出会う圏同値な圏はまったく同型ではない.

1.3. 加法圏

加法圏とは圏 $\mathbf{C}$ であって, $\mathbf{C}$ のすべての対象の対 $(A, B)$ に対して Abel 群の演算規則が $\operatorname{Hom}(A, B)$ に射の合成について双線型になるように与えられたものである. さらに $\mathbf{C}$ の任意の対象 $A, B$ の和と積が存在することを仮定する. ただし, $A$ と $B$ の和または積が存在することを仮定すれば十分であり, このとき他方の存在は容易に導出され, さらに $A+B$ と $A \times B$ は標準的に同型となる (たとえば $A \times B$ が存在すると仮定すれば, 成分が $(I _ A, 0)$ resp. $(0, I _ B)$ となる射 $A \to A \times B$ と $B \to A \times B$ を考えることで $A$ と $B$ の直和としての $A \times B$ の表現が得られる). 最後に, $I _ A = 0$ となるような対象 $A$ の存在を仮定し, これを $\mathbf{C}$ の零対象という. これは $\operatorname{Hom}(A, A)$ が零になるということ, あるいはさらにすべての $B \in \mathbf{C}$ に対して $\operatorname{Hom}(A, B)$ (あるいは $\operatorname{Hom}(B, A)$) が零になるということと同じである. $A$ と $A'$ が零対象であるとき, $A$ から $A'$ への同型射は一意に存在する (すなわち $\operatorname{Hom}(A, A')$ の唯一の元 $0$ である!) ので, さらに $\mathbf{C}$ のすべての零対象を同一視し, それを記号の濫用により $0$ と表す.

加法圏の双対圏はまた加法圏である.

$\mathbf{C}$ を加法圏とし, $u \colon A \to B$ を $\mathbf{C}$ における射とする. $u$ が単射 (resp. 全射) であるためには, $u$ との右 (resp. 左) からの合成が零になる非零な射が存在しないことが必要かつ十分である. $u$ の一般化された核とは, $u$ の右零因子となる射 $C \to A$ が正確には $C \to A' \overset{i}{\to} A$ と分解できるようなモノ射 $i \colon A' \to A$ の全体のことである. このようなモノ射は同値を除いて定まる (cf. 第 1 節) ので, $u$ の一般化された核 (存在すれば) の中に $A$ の部分対象であるものがちょうど一つ存在する. これを $u$ のといい, $\operatorname{Ker} u$ と表す. 双対として $u$ の余核が定義でき (存在すれば $B$ の商対象である), $\operatorname{Coker} u$ と表す. 射 $u$ の (resp. 余像) とは (存在すれば) $u$ の余核の核 (resp. 核の余核) のことである. したがってこれは $B$ の部分対象 (resp. $A$ の商対象)*3 であり, $\operatorname{Im} u$ (resp. $\operatorname{Coim} u$) で表す. $u$ の像と余像が存在すれば, $u$ が合成 $A \to \operatorname{Coim} u \to \operatorname{Im} u \to B$ と同一視できるような射 $\overline{u} \colon \operatorname{Coim} u \to \operatorname{Im} u$ が一意に存在する. ここで両端の射は標準的な射である.

加法圏 $\mathbf{C}$ から別の加法圏 $\mathbf{C}'$ への関手 $F$ が加法的関手であるとは, $\mathbf{C}$ における二つの射 $u, v \colon A \to B$ に対して $F(u+v)=F(u)+F(v)$ となることをいう. 多重関手についても類似の定義がなされる. 加法的関手の合成関手は加法的関手である. $F$ が加法的関手であれば, $F$ は対象 $A _ i$ の有限直和を $F(A _ i)$ の直和に変換する.

1.4. Abel 圏

Abel 圏とは, 次のように追加された二つの (自己双対な) 公理を満たす加法圏 $\mathbf{C}$ である:

AB 1) すべての射が核と余核を持つ. (cf. 1.3)

AB 2) $u$ を $\mathbf{C}$ における射とする. このとき標準的な射 $\overline{u}\colon\operatorname{Coim} u\to\operatorname{Im} u$ (cf. 1.3) が同型射である.

その結果として特に全単射は同型射である. AB 1) を満たし, 射 $\overline{u}\colon\operatorname{Coim}u\to\operatorname{Im}u$ が常に全単射となるような加法圏は多く存在するが, 必ずしも同型射ではないことに注意せよ. これは, たとえば, 連続準同型写像を射とする位相環上の分離位相加群や, 次数つき Abel 群の圏にも当てはまる. より非自明な他の例: 複素次元 $1$ の複素多様体上の複素ベクトル束であって, 全空間が複素多様体であり射影が正則であるようなもの*4の成す加法圏. つまり, これらは非 Abel な加法圏である.

$\mathbf{C}$ が Abel 圏だとすると, このとき Abel 群の間の準同型写像の図式に関する慣習的な定式化はすべて, “有限型の” 性質に注目する限り, すなわち無限直和や無限直積に立ち入らない限り (これらに対しては特別な慎重さを要するので第 5 節を参照のこと), 準同型を $\mathbf{C}$ における射に置き換えることによって新たな発展が可能になる. ここではいくつかの特に重要な事実を指摘するに留めるので, 詳細は [3] を参照せよ.

以下では Abel 圏 $\mathbf{C}$ を一つ固定する. $A \in \mathbf{C}$ とし, すべての $A$ の部分対象に余核 (ゆえに $A$ の商) が対応するとし, すべての $A$ の商対象に対応する核が存在する (ゆえに $A$ の部分対象) としよう. かくして $A$ の部分対象のクラスと $A$ の商対象のクラスの間の双方向の対応が得られるが, この対応は自然な順序関係についての反同型射である. さらに $A$ の部分対象は (ゆえに商対象も) のクラスを成す: $P$ と $Q$ が $A$ の部分対象だとすると, $\sup$ は $P$ と $Q$ から $A$ への標準的入射を成分とする射による直和 $P+Q$ の像であり, $\inf$ は $A$ から $A/P$ と $A/Q$ への標準的全射を成分とする射による $A$ から積 $(A/P)\times(A/Q)$ への射の核である. (慣用に従うと $A/P$ で部分対象 $P$ と対応する $A$ の商を意味するので, $A\backslash R$ で商対象 $R$ に対応する $A$ の部分対象と表す双対の記法は自然である). $A$ の二つの商対象の $\inf$ と $\sup$ には双対な解釈が存在する.

$u\colon A\to B$ を射とする. $A'$ が $A$ の部分対象だとすると, $u$ による $A'$ の像 $u(A')$ が, $A'\to A$ の標準的入射 $i$ による $\operatorname{Im}ui$ として定義される. 双対として, $B$ の商 $B'$ の逆像 $u^{-1}(B')$ も定義され, それは $A$ の商である. いま $B'$ が $B$ の部分対象であるとすれば, $u$ による $B'$ の逆像 $u^{-1}(B')$ が, $B\to B/B'$ の標準的全射 $j$ による $ju$ の核として定義される. 双対として, $A$ の商 $A'$ の順像 $u(A')$ が定義され, それは $B$ の商である. このような一般的概念のすべての性質を示すことができる.

最後に次のことを思い出そう. 組 $A\overset{u}{\to}B\overset{v}{\to}C$ の連続する二つの射が完全であるとは $\operatorname{Ker}v=\operatorname{Im}u$ となることであり, より一般に射の完全系列という概念が得られる. 系列 $0\to A\to B\to C$ が完全であるためには, すべての $X \in \mathbf{C}$ に対して次の Abel 群の準同型写像の系列が完全になることが必要かつ十分である:

$$0\to\operatorname{Hom}(X, A)\to\operatorname{Hom}(X, B)\to\operatorname{Hom}(X, C)$$

双対として系列 $C\to B\to A\to 0$ が完全であるための基準もある. 系列 $0\to A'\to A\to A''\to 0$ が完全であるためには, $u$ がモノ射で $v$ がその一般化された核にあることが必要かつ十分である.

$F$ を Abel 圏 $\mathbf{C}$ から別の Abel 圏 $\mathbf{C}'$ への共変関手としよう. [6] で採用されている用語法に従って, $F$ が半完全関手 (resp. 左完全 resp. 右完全) であるとは, すべての $\mathbf{C}$ における完全系列 $0\to A'\to A\to A''\to 0$ に対応する射の系列 $0\to F(A')\to F(A)\to F(A'')\to 0$ が $F(A)$ において (resp. $F(A)$ と $F(A')$ において, resp. $F(A)$ と $F(A'')$ において) 完全であることをいう. $F$ が完全関手であるとは, $F$ が左完全かつ右完全であることをいい, すなわち前の型の完全系列を完全系列に変換する. このとき $F$ はすべての完全系列を完全系列に変換する. $F$ が左完全であれば, $F$ は完全系列 $0\to A\to B\to C$ を完全系列 $0\to F(A)\to F(B)\to F(C)$ に変し, 右完全であれば双対の主張が成り立つ. $F$ が反変関手であれば, $F$ が半完全 (resp. 右完全 etc.) であるとは, $F$ が $\mathbf{C} ^ {\circ}$ から $\mathbf{C}'$ への共変関手としてそうであることをいう. 左 (resp. 右) 完全な共変関手の合成は同じ型になる. その他のこの類の連鎖式や, 多重関手の完全性の性質に関する研究については [6] を参照せよ. 重要な例として, $\operatorname{Hom}(A, B)$ を $\mathbf{C}^{\circ}\times\mathbf{C}$ 上の加法的双関手として表し, Abel 群の成す Abel 圏に値を取り, $A$ において反変かつ $B$ において反変であり, 二つの引数に関して左完全である (つまり [6] の用語法では左完全な双関手である).

1.5. 無限和と無限積

いくつかの構成において無限直和と無限直積の存在と何個かの性質が必要とされるだろう. 以下は強力な武器として最も一般的に用いられる公理である.

AB 3) $\mathbf{C}$ の対象の族 $(A _ i) _ {i\in I}$ すべてに対し, $A_i$ の直和 (cf. 第 1 節) が存在する.

この公理は $A\in\mathbf{C}$ の部分対象 $A _ i$ の族すべてに対して $A _ i$ の $\sup$ が存在することを含意する: 標準的入射 $A _ i \to A$ を成分とする射による直和 $\bigoplus A _ i$ の像を取ればよい. 任意のエピ射な射の族の直和はエピ射であることをすでに見た (第 1 節); 実際, まさに “積圏” $\mathbf{C} ^ I$ 上に定義され $\mathbf{C}$ に値を持つ関手 $(A _ i) _ {i\in I}\to\bigoplus _ {i\in I} A _ i$ は右完全であることを見た. $I$ が有限であればまさに完全であるが, 無限であれば必ずしもそうではなく, というのも 1.1 節で (双対の状況で) 述べたように, モノ射の無限個の族の直和は必ずしもモノ射ではないからである. これより次の公理が思いつく:

AB 4) 公理 AB 3) は真であり, モノ射の族の直和がモノ射である.

次の公理は AB 4) よりも真に強い:

AB 5) 公理 AB 3) は真であり, もし $(A _ i) _ {i\in I}$ が $A\in\mathbf{C}$ の部分対象のフィルター付き増大族で $B$ が $A$ の任意の部分対象であるならば, $(\sum _ i A _ i)\cap B=\sum _ i (A _ i\cap B)$ を得る.

(慣習に従って $\sum A _ i$ で $A _ i$ の $\sup$ を表し, $P\cap Q$ で $A$ の部分対象 $P$ と $Q$ の $\inf$ を表した). AB 5) はまた次のようにも表現できる: AB 3) が満たされ, もし $A \in \mathbf{C}$ が部分対象 $A _ i$ のフィルター付き増大族の $\sup$ で, すべての $i$ に対して射 $u _ i \colon A _ i\to B$ が $A _ i\subset A _ j$ となるよう与えられ, $u _ i$ が $u _ j$ から誘導されるならば, このとき $u _ i$ から誘導される $A$ から $B$ への射 $u$ が (明らかに一意に) 存在する. 最後に AB 5) をさらに強めた次の公理に注意してほしいが, 本論文で用いることはないだろう.

AB 6) 公理 AB 3) が真であり, すべての $A\in\mathbf{C}$ と, $A$ の部分対象 $B ^ j$ のフィルター付き増大族 $B ^ i = (B _ i ^ j) _ {i\in I _ j}$ の族 $(B ^ i) _ {j\in J}$ すべてに対し,

$$\bigcap _ {j \in J}\left(\sum _ {i \in I _ {j}} B _ {j} ^ {i}\right)=\sum _ {\left(i _ j\right) \in \prod I _ j}\left(\bigcap _ {j \in J} B _ {i _ j} ^ i\right)$$

(この公理は $A$ の部分対象の任意の族に対してその $\inf$ が存在することを暗に含んでいる).

前述の公理の双対 AB 3*), AB 4*), AB 5*) および AB 6*) は無限積と関連するが, これらを明示する役目は読者に委ねる. 例として, Abel 群の圏 (より一般には, 単位元が固定された環上の加群の圏) は最も強い公理 AB 6) を直和について満たし, さらに公理 AB 3*) と AB 4*) を満たすが, AB 5*) は満たさない. この事実は双対圏では逆転しており, Pontrjagin 双対によりコンパクト位相 Abel 群の圏と同型である (これは, AB 5*) が AB 4*) の帰結ではなく, ゆえに AB 5) もまた AB 4) の帰結ではないことを示している). 固定された位相空間 $X$ 上の Abel 群の層のなす Abel 圏は公理 AB 5) と AB 3*) を満たすが, AB 4*) は満たさない. というのも, 全射な射の積は必ずしも全射な射ではないことをすでに見ていた. 最後に注意すべきこととして, $\mathbf{C}$ が AB 5) と AB 5*) を同時に満たす圏だとすると, このとき $\mathbf{C}$ の元は零になる (というのも, このときすべての $A\in\mathbf{C}$ に対して標準的な射 $A ^ {(I)}\to A ^ I$ は同型射となり, これが可能なのは $A$ が零であるときに限られることを確認できるからである).

前述の公理は, “入射的” および “射影的” な対象が存在するための扱いやすい条件を与えるために必要な帰納極限および射影極限の研究に特に有用である (第 10 節参照). 繰り返しを避けるために, まずは図式を用いて新しい圏を構成するための非常に一般的で広く使われる方法を検討しよう.

1.6. 図式圏と遺伝する性質

図式シェマとは, 二つの集合 $I$ と $\Phi$ と $I\times I$ から $\Phi$ への写像 $d$ から成る三つ組 $(I, \Phi, d)$ のことである. $I$ の元は図式の頂点, $\Phi$ の元は図式のであり, $\varphi$ が図式の矢であれば $d(\varphi)$ は $\varphi$ の方向といい, これは矢の始点終点 (ゆえにこれらは図式の頂点である) により特徴づけられる. 始点 $i$ と終点 $j$ の合成矢とは, 定義により, 図式の矢の空でない有限の列であって, 最初の矢の始点が $i$ であり, それぞれの矢の終点が次の矢の始点であり, 最後の矢の終点が $j$ であるもののことである. $\mathbf{C}$ が圏だとすると, $\mathbf{C}$ におけるシェマ $S$ の図式とは, すべての $i \in I$ を対象 $D(i)\in\mathbf{C}$ に, 始点 $i$ と終点 $j$ のすべての矢 $\varphi$ を $D(i)$ から $D(j)$ への射 $D(\varphi)$ に結びつける写像 $D$ のことをいう. このような図式のクラスは $\mathbf{C} ^ S$ と表され, これは次のようにすることで一つの圏と考えられる. $D$ から $D ^ {\prime}$ への射を, 始点 $i$ と終点 $j$ のすべての矢 $\varphi$ に対して次の図式が可換になるような射 $v _ i \colon D(i) \to D ^ {\prime} (i)$ の族とする:

$$\begin{CD} D(i) @>v_i>> D^{\prime}(i) \\ @VD(\varphi)VV @VVD^{\prime}(\varphi)V \\ D(j) @>v_j>> D^{\prime}(j) \end{CD}$$

図式の射は自明な仕方で合成され, 圏の公理も自明に確認される. $D$ がシェマ $S$ の図式だとすると, このとき $S$ におけるすべての合成矢 $\varphi=(\varphi _ 1, .\dots, \varphi _ k)$ に対して $D(\varphi)=D(\varphi _ k).\dots D(\varphi _ 1)$ が定まり, これは $i$ と $j$ がそれぞれ $\varphi$ の始点と終点であるならば $D(i)$ から $D(j)$ への射である. $D$ が可換図式であるとは, $\varphi$ と $\varphi ^ {\prime}$ が始点と終点を同じくする二つの合成矢であればいつも $D(\varphi) = D(\varphi ^ {\prime})$ を得ることをいう. より一般に, $R$ が始点と終点を同じくする合成矢の対 $(\varphi, \varphi ^ {\prime})$ と, 始点と終点が等しい合成矢から成る集合であるとき, 次の可換関係を満たす図式から成る $\mathbf{C} ^ S$ の部分圏 $\mathbf{C} ^ {S, R}$ が考えられる: $(\varphi, \varphi ^ {\prime})\in R$ に対しては $D(\varphi)=D(\varphi ^ {\prime})$ であり, $i$ を始点かつ終点とする $\varphi\in R$ に対しては $D(\varphi)$ が $D(i)$ の恒等射に等しい*5.

図式の可換性については他にもまだ考察すべきであり, その本性は考察される圏に応じて多様に変化する. 次のことは最も重要な場合を扱っているように思われる. すべての $(i, j)\in I\times I$ に対し, 始点 $i$ と終点 $j$ の合成矢の整数係数の形式的線型結合の集合 $R _ {ij}$ を取り, $i=j$ のときは予備の元 $e _ i$ も取る. このとき $D$ が加法圏 $\mathbf{C}$ に値を取る図式だとすると, すべての $L \in R _ {ij}$ に対して射 $D(L) \colon D(i) \to D(j)$ を, $L$ の表現において, 合成矢 $\varphi$ を $D(\varphi)$ に, そして $e _ i$ を $D(i)$ の恒等射に置き換えることで得られる. $R$ で $R _ {ij}$ の合併を表すとき, $D$ が $R$ 可換であるとは, すべての $D(L)$ ($L\in R$) が零であることをいう. 図式シェマと上のような集合 $R$ の組 $(S, R) = \Sigma$ を可換関係を伴う図式シェマという. すべての加法圏 $\mathbf{C}$ に対し, このとき $R$ 可換なシェマから成る $\mathbf{C} ^ S$ の部分圏 $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ を考えることができる.

命題 1.6.1. $\Sigma$ を可換関係を伴う図式シェマとし, $\mathbf{C}$ を加法圏とする. このとき圏 $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ は加法圏であり, もし $\mathbf{C}$ が無限直積 (resp. 無限直和) を伴う圏であれば, $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ もまたそうである. さらに, $\mathbf{C}$ が公理 AB 1) から AB 6) あるいは双対の公理 AB 3) から AB 6) のどれかを満たせば, $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ もまたそうである.

さらに, もし $D, D ^ {\prime} \in \mathbf{C} ^ {\Sigma}$ で, $u$ が $D$ から $D ^ {\prime}$ への射であれば, このときその核 (resp. 余核, resp. 像, resp. 余像) は成分 $u _ i$ の核 (resp. . . . .) から成る図式であり, この図式の (シェマの矢と対応する) 射は $D$ (resp. $D ^ {\prime}$. . . .) の射を制限すること (resp. 商を経由すること) によって自明な仕方で得られる. 類似の仕方で図式の族の直和や直積が解釈される. 図式 $D$ の部分対象 $D ^ {\prime}$ は, 始点 $i$ と終点 $j$ のすべての矢 $\varphi$ に対して $D(\varphi).\,D ^ {\prime}(i) \subset D ^ {\prime}(j)$ を得るような $D(i)$ の部分対象の族 $(D ^ {\prime} (i))$ と同一視される; このとき $D ^ {\prime}(\varphi)$ は $D(\varphi)$ によって $D ^ {\prime}(i)\to D^ {\prime}(j)$ として定義される. $D$ の商対象は双対な仕方で定まる.

$S$ が図式シェマだとすると, $S$ と同じ頂点と矢の集合だが $S$ の矢の始点と終点が逆転したシェマを双対シェマといい $S ^ {\text{O}}$ で表す. さらに, $S$ に可換関係を持つ集合 $R$ を与えるならば, $S ^ {\text{O}}$ にも同じ集合を与え続ける. この約束によって, 加法圏 $\mathbf{C}$ に対し, $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ の双対圏は $(\mathbf{C} ^ {\circ}) ^ {\Sigma ^ {\circ}}$ と同一視される.

$\mathbf{C}, \mathbf{C} ^ {\prime}$ を二つの加法圏とし, $\Sigma$ を可換関係を伴う図式シェマとしよう. $\mathbf{C}$ から $\mathbf{C} ^ {\prime}$ へのすべての関手に対し, 自明な仕方で $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ から $\mathbf{C} ^ {\prime\Sigma}$ への関手 $F ^ {\Sigma}$ が定められ, $F$ の図式への標準的拡張という. $F ^ {\Sigma}$ は形式的には引数 $F$ に関する関手のように振舞い, 特に関手的な準同型射 $F \to F ^ {\prime}$ は関手的な準同型射 $F ^ {\Sigma} \to F ^ {\prime\Sigma}$ を定める. 最後に, 合成関手に対して $(GF) ^ {\Sigma} = G ^ {\Sigma} F ^ {\Sigma}$ であり, 関手の完全性の性質は図式のクラスの拡張で保たれる.

1.7. 図式シェマにより定まる圏の例

a) 元が一つになる $I$ と空である矢の集合を取る. このとき可換関係は $n _ i e=0$ の形であり, したがって $ne=0$ という唯一の関係になる. だから $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ は整数 $n$ に零化される対象から成る $\mathbf{C}$ の部分圏である. $n=0$ であれば, それは $\mathbf{C}$ そのものである.

b) 任意の $I$ を取り, 矢と可換関係は取らない. このとき $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ は積圏 $\mathbf{C} ^ I$ と同一視される. 可換関係が与えられたと仮定すると, 第 1 節で考察したような型の圏の積を得る.

c) 元が $a$ と $b$ の二つになる $I$ と始点 $a$ と終点 $b$ のただ一つの矢を取る: $\mathbf{C}$ の対象の間の射 $u \colon A \to B$ の成す圏が見出される. 可換関係を導入することは $A, B, u$ がいくつかの整数にちょうど零化されるままにしておくのと同じことである.

d) 関手圏. $\mathbf{C} ^ {\prime}$ を別の圏とし, それが集合だと仮定する. このとき $\mathbf{C} ^ {\prime}$ から $\mathbf{C}$ への共変関手は, 関手的な射 (cf. 1.1 節) を射として取ることで圏を成す. この圏は圏 $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ として解釈でき, そこでは $I = \mathbf{C} ^ {\prime}$ と取り, 始点 $A ^ {\prime}$ と終点 $B ^ {\prime}$ の矢が定義により $\operatorname{Hom}(A ^ {\prime}, B ^ {\prime})$ の元であり, 可換関係が関手の二つの公理を表現する. $\mathbf{C} ^ {\prime}$ がさらに加法圏であれば, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ から $\mathbf{C}$ への加法的関手はまた (必要となる可換関係を追加して) 圏 $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ としても解釈できる.

e) $\mathbf{C}$ に値を取る複体. $I = Z$ (整数の集合) で, 矢の集合を $d _ n$ が始点 $n$ と終点 $n+1$ であるところの $(d _ n) _ {n\in Z}$ で, 可換関係が $d _ {n+1} d _ n=0$. 正だけのあるいは負だけの次数の複体に限定したければ, さらに $e _ n=0$ の形の関係を追加できる. 類似の仕方で二重複体 etc. が得られる.

f) 圏 $\mathbf{C} ^ G$ ($G$ は群). $G$ を群, $\mathbf{C}$ を (必ずしも加法的とは限らない) 圏とする. $\mathbf{C}$ における作用を持つ群 $G$ を伴う対象とは, 対象 $A \in \mathbf{C}$ と $A$ の自己同型写像の成す群における $G$ の表現 $r$ の組 $(A, r)$ のことをいう. $(A ^ {\prime}, r ^ {\prime})$ がそのような組の二つ目だとすると, $A$ から $A ^ {\prime}$ への射で $G$ の作用と可換なものを一つ目から二つ目への射という. 作用を持つ群 $G$ を伴う $\mathbf{C}$ の対象のクラス $\mathbf{C} ^ G$ はこのようにして圏となる. これは $\Sigma = \Sigma(G)$ に対して次のような関係を伴うシェマを取ることでクラス $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ として解釈できる: 頂点の集合の元は $i _ 0$ の一つになり, 矢の集合は $G$ であり, 可換関係は $(s)(t)=(st)$ であり (左辺は合成矢を表す) $(e)=e _ {i _ 0}$ ($e$ は $G$ の単位元を表す) である. 特に, $\mathbf{C}$ が加法圏であれば, $\mathbf{C} ^ G$ もまたそうである; この場合, その構成は (群 $G$ の代数を考えることによって) 次の例に含まれている.

g) 圏 $\mathbf{C} ^ U$ ($U$ は単位元を伴う環). $\mathbf{C}$ の対象 $A$ と環 $\operatorname{Hom}(A, A)$ における $U$ の単位的な表現の組 $(A, r)$ から成る加法圏が考えられ, この圏の射は自明な仕方で定まる. これは上のようにして圏 $\mathbf{C} ^ {\Sigma(U)}$ として解釈され, ここで $\Sigma(U)$ はただ一つの頂点と矢の集合 $U$ を持つ関係と, 可換関係を伴うシェマである.

h) 帰納系と射影系. 頂点の集合として前順序集合 $I$ を取り, 矢として $i\leqq j$ となる頂点の対 $(i, j)$ で $(i, j)$ の始点と終点がそれぞれ $i$, $j$ となるものを取る. 可換関係は $(i, j)(j, k)=(i, k)$ と $(i, i)=e _ i$ である. (与えられた必ずしも加法的とは限らない圏 $\mathbf{C}$ に) 対応する図式は $\mathbf{C}$ に値を持つ $I$ 上の帰納系の名で知られている. $I$ を反対の前順序集合に変えるか, $\mathbf{C}$ を $\mathbf{C} ^ {\circ}$ に変えると, $\mathbf{C}$ に値を取る $I$ 上の射影系を得る. 重要な場合の一つとして位相空間 $X$ の開部分集合を関係 $\supset$ で順序付けた集合 $I$ がある: このとき (圏 $\mathbf{C}$ に値を取る) $X$ 上の前層という概念が得られる.

1.8. 帰納極限と射影極限

一つ目のみを議論するのだが, それは射影極限の概念が帰納極限のと双対だからである. $\mathbf{C}$ を圏とし, $I$ を前順序集合とし, $\mathbf{A}=(A _ i, u _ {ij})$ を $\mathbf{C}$ に値を取る $I$ 上の帰納系 ($u _ {ij}$ は $i\geqq j$ で定義される射 $A _ j\to A _ i$) とする. $\mathbf{A}$ の (一般化された) 帰納極限とは, $\overline{\mathbf{A}}\in\mathbf{C}$ と次の条件を満たす射 $u _ i\colon A _ i\to \overline{\mathbf{A}}$ の族 $(u _ i)$ から成る系である: a) $i\leqq j$ に対し, $u _ i=u _ j u _ {ji}$ を得る b) すべての $B \in \mathbf{C}$ と射 $v _ i\colon A _ i\to B$ の族のうち $i\leqq j$ となるすべての対 $(i, j)$ に対して関係 $v _ i = v _ j u _ {ji}$ が成り立つもののすべてに対し, $\overline{\mathbf{A}}$ から $B$ への唯一の射ですべての $i\in I$ に対して $v _ i = v u _ i$ を得るようなものを見出すことができる. もし $(\overline{\mathbf{A}}, (u _ i))$ が $\mathbf{A}=(A _ i, u _ {ij})$ の帰納極限であり, $(\overline{\mathbf{B}}, (v _ i))$ が二つ目の帰納系 $\mathbf{B}= (B _ i, v _ {ij})$ の帰納極限であり, 最後に $\boldsymbol{w}=(w _ i)$ が $\mathbf{A}$ から $\mathbf{B}$ への射であれば, このとき $\overline{\mathbf{A}}$ から $\overline{\mathbf{B}}$ への唯一の射 $\overline{w}$ が存在して, すべての $i\in I$ に対し: $\overline{w}u _ i=v _ i w _ i$ を得る. 特に, 帰納系を同じくする二つの帰納極限は (明らかな意味において) 標準的に同型であり, 帰納極限を一つは持つすべての帰納系に対し (たとえば Hilbert の $\tau$ 記号を使って), そのような帰納極限を一つ選んで $\varinjlim\mathbf{A}$ あるいは $\varinjlim_{i \in I} A _ i$ と表し, その与えられた帰納系の帰納極限というのが自然である. $I$ と $\mathbf{C}$ が $\mathbf{C}$ に値を取る $I$ 上の帰納系 $\mathbf{C}$ すべてに対して $\varinjlim\mathbf{A}$ が存在するようなものであれば, 前の結果から $\varinjlim\mathbf{A}$ が $\mathbf{C}$ に値を取る, $\mathbf{C}$ における $I$ の帰納系の成す圏上に定義される共変関手であることが従う.

命題 1.8. $\mathbf{C}$ を公理 AB 3) (任意の直和の存在) を満たす Abel 圏とし $I$ をフィルター付き増大前順序集合とする. このとき $\mathbf{C}$ に値を取る $I$ 上の帰納系 $\mathbf{A}$ すべてに対し, その帰納極限 $\varinjlim\mathbf{A}$ が存在し, これは $\mathbf{A}$ の右完全な加法的関手である. $\mathbf{C}$ が公理 AB 5) (cf. 1.5 節) を満たせばこの関手はまさに完全であり, このとき標準的な射 $u _ i\colon A _ i\to \varinjlim\mathbf{A}$ の核は $j\geqq i$ での射 $u _ {ji}\colon A _ i\to A _ j$ の核の $\sup$ である. (特に, $u _ {ji}$ が単射であれば, $u _ i$ もまたそうである).

$(A _ i, u _ {ij})$ の帰納極限を構成する上で, $S = \bigoplus _ {i \in I} A _ i$ が考えられ, $i\leqq j$ となるすべての対 $(i, j)$ に対し, $A _ i$ から $S$ への射 $w _ {ij}$ が $I _ {A _ i}$ と $-u _ {ji}$ を成分とする射 $A _ i\to A _ i + A _ j$ から定まる. $N _ {ij} = w _ {ij}(A _ i)$ とし, $N$ を $N _ {ij}$ の上界となる $S$ の部分対象 (公理 AB 3) によって存在する) とし, $\overline{\mathbf{A}}=S/N$ とし, $u _ i\colon A _ i\to \mathbf{A}$ を標準的な射 $S \to S/N$ から誘導される射とすると, $(\mathbf{A}, u _ i)$ が $\mathbf{A}$ の帰納極限であることが直ちに確かめられる. 命題 1.8. から従う他の主張の (明らかによく知られている) 論証は読者に委ねられる.

1.9. 生成子と余生成子

$\mathbf{C}$ を圏とし, $(U _ i) _ {i \in I}$ を $\mathbf{C}$ の対象の族とする. これが $\mathbf{C}$ の生成子の族であるとは, すべての対象 $A \in \mathbf{C}$ と $A$ のすべての部分対象 $B \neq A$ に対し, ある $i \in I$ と射 $u\colon U _ i \to A$ であって, $U _ i$ から $B$ への射によって射分解されないものが取れることをいう. このときすべての $A \in \mathbf{C}$ に対し, $A$ の部分対象は集合をなす*6: 実際, $A$ の部分対象 $B$ は $U_i \to A$ なる射であって $B$ を通るもののなす集合により完全に決定される. $U \in \mathbf{C}$ が $\mathbf{C}$ の生成子であるとは族 ${U}$ が生成子の族であることをいう*7.

命題 1.9.1. $\mathbf{C}$ を公理 AB 3) (無限直和の存在) を満たす Abel 圏と, $(U _ i) _ {i \in I}$ を $\mathbf{C}$ の対象の族と, $U = \bigoplus U_i$ を直和と仮定する. 以下の条件は同値である:

  1. $(U_i)_{i \in I}$ は $\mathbf{C}$ の生成子の族である.
  2. $U$ は $\mathbf{C}$ の生成子である.
  3. すべての $A \in \mathbf{C}$ は対象のすべてが $U$ と同型な直和 $U ^ {(I)}$ の商と同型である.

a) と b) の同値性はほとんど定義からの帰結である. b) は c) を導く. $I$ として $\mathrm{Hom}(U,A)$ をとり, $u \in I$ なる成分について射 $u$ を対応させるような射 $U^{(I)} \to A$ を考えればよい: この射の像を $B$ とおくと, $B = A$ でなければ $B$ を通らない $u \in \mathrm{Hom}(U,A) = I$ が存在するためこれは不合理となる. したがって $A$ は $U^{(I)}$ の商と同型である. c) は b) を導く. これは $A$ が $U^{(I)}$ の商であるならほとんど直ちにわかる. $A$ の任意の部分対象 $B$ についてこれが $A$ と異なるならば, $i \in I$ であって $U^{(I)}$ の $i$ 番目の成分の $A$ への像が $B$ に含まれないものが存在する. このとき $U$ から $A$ への射は $B$ を通らない (ここで $\mathbf{C}$ の加法構造が用いられていないことに注目できる).

. $\mathbf{C}$ を単位的環 $U$ 上の単位的左加群のなす Abel 圏とする. このとき $U$ (環自身を左加群とみなす) は生成子となる. $\mathbf{C}$ を固定された位相空間 $X$ 上の Abel 群の層の圏とし, またすべての開集合 $U \subset X$ について $\mathbf{Z} _ U$ を $\mathsf{C}\,U$*8 上において $0$ であり $U$ 上で整数のなす定数層となるものをとると, $\mathbf{Z} _ U$ 全体の成す族は $\mathbf{C}$ の生成集合となる. この例は直ちに与えられた $X$ 上の環の層 $\mathbf{O}$ の場合に一般化でき, このとき我々は $X$ 上の $\mathbf{O}$ 加群の圏について考える. その他の例は次の命題に現れる:

命題 1.9.2. $\Sigma$ を可換関係 (cf. 1.6 節) を伴う図式シェマとし, $\mathbf{C}$ を Abel 圏とし, $(U _ i) _ {i \in I}$ を $\mathbf{C}$ の生成子の族とする. $\Sigma$ のすべての矢に対し, その矢の始点と終点が異なっており, ($s$ が頂点となる) 恒等射 $e _ s$ が可換関係において表現されない*9と仮定しよう. このときすべての $A \in \mathbf{C}$ とシェマのすべての頂点 $s$ に対して, 頂点での値が $s$ では $A$ となり他では $0$ となり矢での値がそれぞれ $0$ になるような図式 $\mathcal{E} _ s(A)$ は $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ に属する. さらに, ($s$ と $i$ が変数の) $\mathcal{E} _ s (U _ i)$ の族は $\mathbf{C}$ の生成子の系である.

このことは即座に確認できる: 最後の主張について図式 $D$ における $\mathcal{E} _ s (A)$ の射の族が $D(s)$ における $A$ の射と同一視されることを言えば十分である.

Abel 圏の余生成子の族という双対の概念を進展させる役目は読者に委ねられる. $\mathbf{C}$ が公理 AB 5) (cf. 1.5.) を満たす Abel 圏であれば, このとき生成子の存在が余生成子の存在を含意することを示せる (この結果を用いることはない). このようにして単位元を伴う環 $U$ 上の左単位的加群の成す圏はつねに余因子を持つ: たとえば $U=\mathbf{Z}$ とすると, 余生成子として $\bmod\mathbf{Z}$ での有理数の成す群 (あるいはトーラス $\mathbf{T}=\mathbf{R}/\mathbf{Z}$) が取れる.

1.10. 入射的対象と射影的対象

次のことを思い出そう. Abel 圏 $\mathbf{C}$ の対象 $M$ が入射的であるとは, 関手 $A \to \operatorname{Hom}(A, M)$ が (いずれにせよ左完全だが) 完全であること, すなわち $M$ への $A \in \mathbf{C}$ の部分対象 $B$ からのすべての射 $u$ に対し, その拡張となる $A$ から $M$ への射が存在する. 射 $A \to M$ が ($A$ の) 入射的消去であるとは, モノ射であって, すべてのモノ射 $B \to C$ とすべての射 $B\to A$ に対し, 次の図式を可換にする射 $C\to M$ が見つけられることをいう.

$$\begin{CD} B @>>> C \\ @VVV @VVV \\ A @>>> M \end{CD}$$

したがって, $M$ の恒等写像が入射的消去であるためには $M$ が単射的であることが必要かつ十分である; 入射的対象におけるすべてのモノ射は入射的消去である.

定理 1.10.1. $\mathbf{C}$ が公理 AB 5) (cf. 1.5 節) を満たし生成子 (cf. 1.9 節) を持つとき, すべての $A \in \mathbf{C}$ に対し, $A$ から入射的対象 $M$ へのモノ射が存在する.

$\mathbf{C}$ から $\mathbf{C}$ への (一般に加法的ではない!) 関手 $M \colon A \to M(A)$ や, $M$ における恒等関手的な準同型射 $f$ で, すべての $A \in \mathbf{C}$ に対して $M(A)$ が単射的で $f(A)$ が $A$ から $M(A)$ へのモノ射となるようなものさえも構成できる. 論証は本質的に知られているので, 主要な点だけを概説する.

補題 1. $\mathbf{C}$ が公理 AB 5) を満たすとき, 対象 $M \in \mathbf{C}$ が入射的であるのは, 生成子 $U$ のすべての部分対象 $V$ とすべての $V$ から $M$ への射 $v$ に対し, $v$ が $U$ から $M$ への射に拡張されるときであり, かつそのときに限られる.

条件が十分なものであることを示せばよい. $u$ を $A \in \mathbf{C}$ の部分対象 $B$ から $M$ への射とする. $B$ を含む $A$ の部分対象への $u$ の拡張全体の集合 $P$ を考える (生成子の存在により, $A$ の部分対象全体は集合をなすため, $P$ は集合となる). $P$ を拡張についての関係によって順序付ける. 公理 AB 5) のふたつめの定式化により, $P$ は帰納的集合となる. したがってこれは最大元を持つ; よって $u$ が極大な状況に帰着でき, このとき $B = A$ が成り立つことを示せばよい. より, $B \neq A$ ならば, $B' \neq B$ への延長を持つことを示す. ここで, $j$ を $U$ から $A$ への射であって $j(U) \not\subseteq B$ なるものとする; $B' = j(U) + B$ とする (したがって $B' \neq B$ である). $V = j^{-1}(B)$ を $j$ による $B$ の逆像とし, $j' \colon V \to B$ を $j$ により誘導される射とし, さらに $V \overset{\phi'}{\to} U \times B \overset{\phi}{\to} B' \to 0$ なる射の系列を考える. ここで, 射 $\phi'$ は $V \to U$ 成分として $- j'$ をとり, また $\phi$ は $B \to B'$ 成分として自然な包含をとる. この系列が完全であることは直ちに示され, すると $B' \to M$ なる射 $v$ を構成するためには $w \colon U \times B \to M$ なる射であって $w \phi' = 0$ なるものを定めればよい. ここで, $k$ を $uj' \colon V \to M$ の $U$ への拡張とする. $w$ を $U \times B$ から $M$ への射であって, その成分に $k$ と $u$ を持つものとする. 直ちに $w \phi' = 0$ を示すことができ, したがって $w$ の $B'$ への拡張 $v$ が構成できる. これは補題 1 の証明を終える.

$A \in \mathbf{C}$ について $I(A)$ を $U$ の部分対象 $V _ i$ から $A$ への射全体の集合とする. このとき, 射 $\bigoplus V _ i \to A \times U ^ {(I(A))}$ なるものであって, $V _ i$ に制限したときに成分として $- u _ i \colon V _ i \to A$ を持ち, また $V _ i$ から $U ^ {(I(A))}$ の $i$ 番目の成分への標準的入射を持つものを考える. $M _ 1(A)$ をこの射の余核とする. $f(A) \colon A \to M _ 1(A)$ を標準的な $A \times U ^ {(I(A))}$ からその商へのエピ射から誘導される射とする. このとき $f(A)$ はモノ射となり (これは AB 4) により $\bigoplus V _ i \to U ^ {(I(A))}$ がモノ射となるという事実によって簡単に示される) 加えて, 任意の $u _ i \colon V _ i \to A$ なる射は $U \to M _ 1(A)$ なる射に "延長" することができる (すなわち, $U$ の $i$ 番目の成分から誘導された $A \times U ^ {(I(A))}$ の商 $M _ 1(A)$ への射である). 超限帰納法によって, 順序数 $i \leq j$ について射 $M _ i(A) \to M _ j(A)$ を次のように定める: $M _ 0(A) = A$ とし, $M _ 1(A)$ と $M _ 0(A) \to M _ 1(A)$ はすでに定めた通りである. $i$ 未満の部分についての構成が終わったとき, $i = j + 1$ の形ならば $M _ i(A) = M _ 1(M _ j(A))$ と定め, $M _ j(A) \to M _ i(A)$ を $f(M _ j(A))$ として定める (同時にこれは $k \leq i$ についての $M _ k(A) \to M _ i(A)$ を定めている). $i$ が極限順序数ならば, $M _ i(A) = \lim _ {j < i} M _ j(A)$ と定める. 標準的入射は, このとき確かにモノ射となる (命題 1.8). ここで $k$ を $U$ の部分対象の集合よりも大きい濃度を持つ最小の順序数とする; するとすべてが調和して $M _ k(A)$ が入射的であることを証明できる, これはすなわち補題 1 の条件がみたされゆくということである. 実際, $M _ k = \sup M _ i$ であり, $V = \sup _ {i < k} v ^ {-1}(M _ i)$ が成り立つ (AB 5) による). $V$ の部分対象の集合は $k$ より小さい濃度をもち, そして順序数 $< k$ の集合であって $k$ を極限に持つものは ($k$ が極限基数ではないので) $k$ を濃度に持ち, これより $v ^ {-1} (M _ i)$ が $V=v ^ {-1}(M _ {i _ 0})$ による $i _ 0 < k$ 以降は定数となることが従い, これで証明が完了する.

注意 1. 定理 1.10.1 の変種: $\mathbf{C}$ が公理 AB 3), AB 4), そして AB 3*) をみたしかつ余生成子 $T$ を持つとき, すべての $A \in \mathbf{C}$ は入射的消去を持つ. この結果はここでは用いない.

注意 2. $M(A)$ が $A$ について関手的であるという事実は有用なことがある. 例えば, 任意の $A \in \mathbf{C}^G$ (すなわち, 群 $G$ の作用の付いた対象 $A \in \mathbf{C}$ —— cf. 1.7, 例 f) が $\mathbf{C}^G$ で入射的なら $\mathbf{C}$ でも入射的であることを示す際において.

注意 3. 多くのケースにおいて, $A$ から入射的対象へのモノ射の存在については, より単純な方法で直接確かめることができる. 定理 1 は様々のケースに適用できるというアドバンテージを持つ. さらには, 定理の条件はいくらか図式の圏 (cf. 命題 1.6.1, 1.9.2) にも遺伝する. このような場合において, 十分豊富に入射的対象があることは, 必ずしも明らかではない.

注意 4. 射影的対象と射影的消去に関する双対的な主張を与えることは読者に委ねる.

1.11. 商圏

本論文の続きにおいて使うことはないものの, 本節で考察することは, Serre の “$\mathbf{C}$ を法とする言語” [17] を融通の利くように体系化し, 多様な応用において便利なようにすることである.

$\mathbf{C}$ を圏とすると, $\mathbf{C}$ の部分圏とは圏 $\mathbf{C} ^ {\prime}$ でその対象が $\mathbf{C}$ の対象であり, $A, B\in\mathbf{C} ^ {\prime}$ に対し, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ の意味で $A$ から $B$ への射から成る集合 $\operatorname{Hom} _ {\mathbf{C} ^ {\prime}}(A, B)$ が $\mathbf{C}$ の意味で $A$ から $B$ への射から成る集合 $\operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}} (A, B)$ の部分であり, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ における射の合成が $\mathbf{C}$ における射の合成から誘導されており, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ における恒等射が $\mathbf{C}$ における恒等射であるようなもののことである. 最後の二条件が意味するところは, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ の対象あるいは射に $\mathbf{C}$ の同じ対象あるいは射を結びつける “関手” は $\mathbf{C} ^ {\prime}$ から $\mathbf{C}$ への共変関手であるということである ($\mathbf{C} ^ {\prime}$ から $\mathbf{C}$ への標準的入射という). $\mathbf{C} ^ {\prime}, \mathbf{C}$ が加法圏だとすると, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ が加法部分圏であるとは, 前述の条件に加え, 群 $\operatorname{Hom} _ {\mathbf{C} ^ {\prime}}(A, B)$ が $\operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}} (A, B)$ の部分群であることをいう. $\mathbf{C}$ が Abel 圏だとすると, 部分圏 $\mathbf{C} ^ {\prime}$ が完全である*10とは次の二条件が成り立つことをいう: (i) $A, B\in\mathbf{C} ^ {\prime}$ に対して $\operatorname{Hom} _ {\mathbf{C} ^ {\prime}} (A, B) = \operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}} (A, B)$. (ii) 完全系列 $A\to B\to C\to D\to E$ において両端の四項が $\mathbf{C} ^ {\prime}$ にあれば, 中間の項 $C$ も同様にまたそうである. (i) により $\mathbf{C} ^ {\prime}$ はその対象のクラスにより完全に決定される. (ii) は $P, Q\in\mathbf{C} ^ {\prime}$ を伴うすべての射 $P \to Q$ に対してその核と余核が $\mathbf{C} ^ {\prime}$ にあり, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ における $R ^ {\prime}, R ^ {\prime\prime}$ を伴うすべての完全系列 $0\to R ^ {\prime} \to R \to R ^ {\prime\prime} \to 0$ に対して $R$ は $\mathbf{C} ^ {\prime}$ にあるということに等しい. このとき $\mathbf{C} ^ {\prime}$ はそれ自身で Abel なクラス*11を成しており, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ における射 $u\colon A\to B$ に対してその核, 余核, (ゆえに像, 余像) が $\mathbf{C}$ において考えられる核, 余核 (resp. . . . .) と同一視される.

$\mathbf{C} ^ {\prime}$ の部分圏 $\mathbf{C}$ が濃密であるとは, 上記の (i) と次のように (ii) を強化した条件を満たすことをいう: (iii) 完全系列 $A\to B\to C$ における両端の項 $A, C$ が $\mathbf{C} ^ {\prime}$ にあれば, $B$ もまたそうである. $\mathbf{C}$ が Abel 群の成す Abel 圏であれば, [17] の “Abel 群のクラス” という概念が見出される. [17] にあるように (iii) は次の三条件の連言*12と等価であることがわかる: すべての零対象は $\mathbf{C} ^ {\prime}$ にあり, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ の部分対象または商対象に同型なすべての対象は $\mathbf{C} ^ {\prime}$ にあり, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ の二つの対象の拡張はすべて $\mathbf{C} ^ {\prime}$ にある.

$\mathbf{C}$ を Abel 圏, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ を濃密部分圏とし, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ による $\mathbf{C}$ の商圏という新しい圏 $\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}$ を定義する. $\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}$ の対象は定義により $\mathbf{C}$ の対象である. $\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}$ における $A$ から $B$ への射を定義し, “$\mathbf{C} ^ {\prime}$ を法とする $A$ から $B$ への射” という. $A$ の部分対象 $A ^ {\prime}$ が $\mathbf{C} ^ {\prime}$ を法として $A$ に等しい, あるいは $A$ とほぼ等しいとは, $A/A ^ {\prime}\in\mathbf{C} ^ {\prime}$ であることをいう; このとき $A ^ {\prime}$ を含む $A$ のすべての部分対象もまた $A$ とほぼ等しく, さらに $A$ とほぼ等しい二つの $A$ の部分対象の $\inf$ もまた $A$ とほぼ等しい. 双対として, $B$ とほぼ等しい $B$ の商という概念が導入される: $N\in\mathbf{C} ^ {\prime}$ のときに $B$ とほぼ等しくなるような商 $B/N$. このとき $\mathbf{C} ^ {\prime}$ を法とする $A$ から $B$ への射とは, $A$ とほぼ等しい $A$ の部分対象 $A ^ {\prime}$ から $B$ とほぼ等しい $B$ の部分対象 $B ^ {\prime}$ への射 $f ^ {\prime}$ が次のように理解されることによって定義される: 射 $f ^ {\prime\prime} \colon A ^ {\prime\prime} \to B ^ {\prime\prime}$ (同じ条件を満たす) が $\mathbf{C} ^ {\prime}$を法として同じ射を定めるのは, $A ^ {\prime\prime\prime} \leqq \operatorname{Inf}(A ^ {\prime}, A ^ {\prime\prime})$, $B ^ {\prime\prime\prime} \leqq \operatorname{Inf}(B ^ {\prime}, B ^ {\prime\prime})$, $A$ とほぼ等しい $A ^ {\prime\prime\prime}$, $B$ とほぼ等しい $B ^ {\prime\prime\prime}$ であって, $f^ {\prime}, f ^ {\prime\prime}$ から定まる射 $A ^ {\prime\prime\prime} \to B ^ {\prime\prime\prime}$ が同一であるときであり, かつそのときに限られる. この最後の $f ^ {\prime}$ と $f ^ {\prime\prime}$ の関係は確かに同値関係であり, それゆえ前述の $\mathbf{C}$ を法とする射という定義には整合性がある. すべての $A \in \mathbf{C}$ に対し, $A$ の部分対象が集合を成す (これは知られているすべての圏に対して真である) と仮定すると, このとき $\mathbf{C} ^ {\prime}$ を法とする $A$ から $B$ への射の成す集合 $\operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}} (A, B)$ が考えられる. $\operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}} (A, B)$ は Abel 群 $\operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}} (A ^ {\prime}, B ^ {\prime})$ の帰納極限のように見え, ここで $A ^ {\prime}$ ($B ^ {\prime}$) は $A$ ($B$) とほぼ等しい $A$ の部分対象 ($B$ の商) を走っているので, これは Abel 群と考えることができる. 同様に $\operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}}(A, B)\times\operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}}(B, C)\to\operatorname{Hom}_{\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}}(A, C)$ を次の仕方で定義できる. $u \in \operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}} (A ^ {\prime}, B ^ {\prime})$ が $u ^ {\prime} \in \operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}}(A, B)$ を表現するとし, $v \in \operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}} (B ^ {\prime\prime}, C ^ {\prime})$ が $v ^ {\prime} \in \operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}}(B, C)$ を表現するとし, $Q$ を $B$ の部分対象 $B ^ {\prime\prime}$ から商 $B ^ {\prime}$ への標準的な射 $B ^ {\prime\prime} \to B ^ {\prime}$ の像とすると, $Q$ もこの射の余像と同型であり, したがって $B ^ {\prime}$ の部分対象でもあると同時に $B ^ {\prime\prime}$ の商対象でもある. 必要であれば $A$ の部分対象 $A ^ {\prime}$ と $C$ の商対象 $C ^ {\prime}$ を縮小させることで, $u$ と $v$ がそれぞれ (再び同じ文字で表される) 射 $A ^ {\prime} \to Q$ と $Q \to C ^ {\prime}$ に由来すると仮定できる. したがって合成 $vu \in \operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}} (A ^ {\prime}, C ^ {\prime})$ を取ることができ, これから定義される $\operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}} (A, C)$ の元は $u ^ {\prime}$ と $v ^ {\prime}$ のみに依存していることが確認され, それを $v ^ {\prime} u ^ {\prime}$ と表す. 次のことは何の造作もなく証明できる: このように定義された合成則が双線型かつ結合的であり, 恒等写像 $I _ A$ から成る $\operatorname{Hom} _ {\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}} (A, A)$ におけるクラスが普遍的な単位元であり, ゆえに $\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}$ は加法圏であるどころか Abel 圏でさえある. これを確認することは極めて面倒なのでここではしない. かくして $\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}$ は Abel 圏のように見え, さらに $\mathbf{C}$ から $\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}$ への恒等関手 $F$ は完全 (そして特に核, 余核, 像, 余像と可換) であり, $F(A)$ が零なのは $A \in\mathbf{C} ^ {\prime}$ であるときでありかつそのときに限られ, 最後に $\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}$ のすべての対象は $F(A), A\in\mathbf{C}$ の形である. これらの (本質的に商圏を特徴づける) 事実によってこそ, 単に商 Abel 圏上で考えているということを意味するにすぎない “$\mathbf{C}$ を法とする” 言語がとても安全に適用できるようになる. $\mathbf{C}$ におけるスペクトル系列 (cf. 2.4) があるときには, そのスペクトル系列のいくつかの項が $\mathbf{C} ^ {\prime}$ にあるという事実を用いるのが特に便利である: $\mathbf{C} ^ {\prime}$ を法として削減することで (すなわち関手 $F$ を適用することで) 対応する項が消滅する $\mathbf{C}/\mathbf{C} ^ {\prime}$ のスペクトル系列が見出され, ある項が消滅したスペクトル系列から完全系列を得るための一般的な基準を用いて, $\mathbf{C} ^ {\prime}$ を法とする完全系列が従う*13.

*1:訳注: 多数の三段論法の結論を省略して前提だけを連ねていく推論のこと.

*2:訳注: Grothendieck の定義では圏同値が単なる随伴になってしまうので, 正しくはこのように自然同型とすべきである.

*3:実を言うと, $u$ の像のより自然な定義は $B$ の部分対象 $B'$ で, $u$ が $A$ から $B'$ への射に由来するような最小のものを (存在すれば) 取ることである. この定義は $\mathbf{C}$ が Abel 圏 (cf. 1.4 節) である場合に限って本文で述べた定義と同値である.

*4:訳注: 現代的には正則ベクトル束という.

*5:訳注: 原文では $=$ である.

*6:訳注: 部分対象の成すある集合 $X$ が存在して, 任意の $A$ の部分対象は $X$に含まれる部分対象と同型となる

*7:訳注: これは主張として誤りで, 引き戻しを持てば正しいが, しかし持たない場合に反例がある.

*8:訳注: 補集合の記号.

*9:順序付き添字集合 $I$ 上に成る $\mathbf{C}$ における帰納系の成す圏 $\mathbf{C} ^ {\Sigma}$ がこの場合において再び登場する. 実際, このとき例 1.7. h) において $i < j$ となる矢 $(i, j)$ と可換関係 $(i, j)(j, k)=(i, k)$ で $e _ s$ が介在しないものを考えれば十分である.

*10:訳注: この用語は現代では廃れており, 実際には充満 Abel 部分圏である.

*11:訳注: 弱 Serre 部分圏のこと.

*12:訳注: 論理積のこと.

*13:訳注: 原文の souvent は意味不明なので suivant の誤植と考えられる.