空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

中間値の定理の離散版

誰も書いている人がいないような気がしたので書いておきます.

定理. (中間値の定理の離散版) 整数 $a$, $b$ が $a < b$ を充たし, 写像 $f\colon \mathbf{Z} \cap [a, b] \to \mathbf{Z}$ がすべての $i$ に対して $\lvert f(i+1)-f(i)\rvert \leqq 1$ を充たすとする. このとき $f(a) < 0 < f(b)$ であれば, $f(c)=0$ なる $c \in \mathbf{Z} \cap (a, b)$ が存在する.
証明. 集合 $S\coloneqq \lbrace x \in \mathbf{Z} \cap [a, b] \mid f(x) < 0\rbrace$ は仮定より空でない有限全順序集合なので $\max S$ が存在し, $f$ の充たす条件と整数の離散性により $a < \max S + 1 < b$ なので $f(\max S + 1)$ が定義でき, $S$ の定め方により $0$ 以上かつ $f$ の充たす条件により $0$ 以下なので $0$ である.

双対として $T\coloneqq \lbrace x \in \mathbf{Z} \cap [a, b] \mid f(x) > 0\rbrace$ を定め $\min T - 1$ を取っても同じことです. 一般化は容易なので省略します.