空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

不確定性の下での意思決定について

高校一年生のときに書いたメモを発見しました. もう経済学に興味がなくなってしまったので, 供養するために記事にしておきます. あまり参考にしないでください.

本稿は不確実性を孕んだ選択肢の中からリスクを考慮した上でどのように決断を下すべきか, という重要な話題をミクロ経済学における期待効用 (expected utility) を用いて考察する. 特に, 期待効用定理 (expected utility theorem) の証明をゴールとした. 主にMas-Colell, Whinston, Green, Microeconomic Theory(以下, MWG)の第6章 Choice Under Uncertainty を参考にした.

我々がリスクを孕んだ選択肢の中から決断する際に, その決断をしたことによってどういう結果が訪れたかという点こそが非常に重要であることは自明である.

しかし, 現れた結果が「不確実性」を含んでいる. これこそが本質的に扱うべき問題なのであって, 本稿が議論する点の多くはまさにその不確実性によるさまざまな状況を取り扱うためであることを注意しておこう.

こういった状況を扱うための舞台設定として, 可能な限りの結果を集めてきた帰結 (consequence) と呼ばれるものを考えるのがよいだろう. ここで一般性を重視するために抽象的な集合 $C$ を考えることにしよう. 以下, 特に注意なく $C$ と書いた場合は帰結を指しているとし, 有限集合 ${c_1,\dots,c_N}$ だとする.

ここでは帰結における結果がどのくらいの確率で起こるのかが予め客観的 (objective) に知られていると仮定しよう. たとえばギャンブルやルーレットなどの「くじ要素」が強いものを考えるわけである.

定義1. (単純くじ) 帰結の集合 $C=\{1,\dots,N\}$ 上の確率分布を単純くじ (simple lottery) といい, 単純くじの集合を $\mathcal{L}$ で表す.

ここで定義より明らかに, $L\in\mathcal{L}$ であるとは, $L=(p_1,\dots,p_N)\in\mathbf{R} _ {\geqq0} ^ N$ であって, $\sum{p_i}=1$ を満たすものであることがわかる. すると, これは $N-1$ 次元標準単体 $$\Delta=\lbrace p\in\mathbf{R} _ {\geqq0} ^ N\mid p_1+\cdots+p_N=1\rbrace$$と見なせることがわかる.

注意. 実はMWGでは定義にミスがあって, $p\in\mathbf{R}_{+}^N$ としているのである. これでは退化した場合, すなわち頂点が表せていない. 揚げ足を取るようだが一応注意しておく.

さて, 単純くじはそれ自身では大して豊かな対象ではないが, (有限個の)単純くじを商品にするようなくじを考えることは有用であろう.

定義2. (複合くじ) $\mathcal{L}$ の任意の有限部分集合上の確率分布を複合くじ(compound lottery, 逐次くじ sequential lottery, 二段階くじ two-stage lottery)という.

特に, $\mathcal{L}\to\mathbf{R};L_i\mapsto\alpha_i\ (i=1,\dots,K)$ なる写像が与えられたとき, これから誘導される確率分布は明らかに複合くじであり, $(L_1,\dots,L_K;\alpha_1,\dots,\alpha_K)$ あるいは $$\begin{pmatrix}L_1 & \cdots & L_n\\ \alpha_1 & \cdots & \alpha_n \end{pmatrix}$$ と表すことにする. MWGでは簡単のためにこの2次元の場合を定義として採用しており, 今後の議論においても定義2を忘却してこの2次元の場合のみ考えればよいことを先に述べておこう.

このとき, 複合くじは『くじのくじ』と解釈でき, 最終的には結果に直結するわけだが, 「結局どのぐらいの結果にたどり着くのか?」という疑問に答えた方が楽だろう. それは単純に「それぞれの確率を掛け合わせて足すだけ」でしかなく, 次の定義はまさにそれをただ翻訳しただけに過ぎない実に至極当然の自然な概念である.

定義3. (単純化くじ) 複合くじ $(L_1,\dots,L_K;\alpha_1,\dots,\alpha_K)$ において$$L_i=\left(p_1^i,\dots,p_N^i\right)$$と書くとき, $$\sum\alpha_iL_i=\left(\sum \alpha_ip_1^i,\dots,\sum\alpha_ip_N^i\right)$$は単純くじであり, 複合くじ $(L_1,\dots,L_K;\alpha_1,\dots,\alpha_K)$ の単純化くじ (reduced lottery) という.

このとき, 複合くじとしては区別されるのに単純化くじとしては同じになるケースが存在する (少し例を作ってみれば明らかなので省略する). しかし, 消費者としては結局単純化くじしか見えないわけである. これが consequentialist premise である. そこで $\mathcal{L}$ 上の選好 (preference) という全順序で推移律を満たす二項関係 $\succsim$ を考え, これが次に定義する意味での連続性を満たすとする.

定義4. 任意の $L,L',L''\in\mathcal{L}$ に対して, 集合 $\lbrace\alpha\in[0,1]\mid\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\rbrace$ と集合 $\lbrace\alpha\in[0,1]\mid L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\rbrace$ がともに閉集合であるとき, 単純くじに関する選好は連続であるという.

この定義は次のように解釈すれば良い. すなわち, 連続性とは「ほんの僅かな確率でしか起こらない事柄は単純くじの選好に影響しない」ということである. たとえば「車でお出かけ」が「家でゴロゴロ」よりも選好されるとしよう. このとき「車で出かけて交通事故に遭って死ぬ」という事柄も起きうるには起きうるが, 確率が著しく低いので, 結局変わらないということだ.

さて, このような連続性が効用関数の存在を保証することはよく知られている通りだが, そのアナロジーがここでも存在していると考えられる. それが次の独立性公理である.

定義5. (独立性公理) 任意の $L,L',L''\in\mathcal{L},\alpha\in[0,1]$ に対して $$L\succsim L'\iff\alpha L+(1-\alpha)L''\succsim\alpha L'+(1-\alpha)L''$$ であるとき, $\succsim$ は独立性公理を満たすという.

単純くじの集合 $\mathcal{L}$ の上で定義された選好関係 $\succsim$ に独立性公理を課すことは, 以下のように正当化される. 複合くじ1を $(L,L'';\alpha,1-\alpha)$ , 複合くじ2を $(L',L'';\alpha,1-\alpha)$ とする. どちらの複合くじでも, 確率 $\alpha$ の事象が実現するか否かで $L''$ を与えるか否かが決まるので, 確率 $\alpha$ で起こるある事象 $E$ において複合くじ1は単純くじ $L$ を与え, 複合くじ2は単純くじ $L'$ を与えると仮定しよう. もし $E$ が起こらなかったならどちらの複合くじも $L''$ を与えるので, 両者の違いは $E$ が起こったときに与える単純くじの違いのみである. $E$ が起こったとき複合くじ1は $L$ を, 複合くじ2は $L'$ を与えるから, 複合くじの間では選好関係 $\succsim$ は定義されないものの, $L\succsim L'$ なので複合くじ1は複合くじ2と少なくとも同程度には好ましいと考えることができるだろう. 複合くじ1の単純化くじは $\alpha L\oplus(1-\alpha)L''$ , 複合くじ2の単純化くじは $\alpha L'\oplus(1-\alpha)L''$ だから, $\alpha L\oplus(1-\alpha)L''$ は $\alpha L'\oplus(1-\alpha)L''$ と少なくとも同程度には好ましいと考えるのが妥当となる.

......という議論は, 以下の前提に基づいている.

  1. そもそも意思決定者が確率を認知している.
  2. 単純くじの集合 $\mathcal{L}$ 上で定義された選好関係 $\succsim$ は $C$ に属する各帰結が与えられる確率にのみ依存し, どのような事象において与えられるかには全く依存しない.
  3. くじの帰結の分布のみに選好は依存する. それがどのような手続きや経緯で達成されるかには依存しない.
  4. 複合くじの間の選好関係 $\succsim$ はそれらの単純化くじの間の選好関係によって決められる. 特に, 複合くじの好ましさ(効用水準)を評価するにあたり, 第1段階で選ばれる単純くじに関わる不確実性と第1段階で選ばれた単純くじがどの帰結を与えるかという第2段階での不確実性は全く同様に考慮される.
  5. 複合くじの好ましさを評価するにあたり, 第1段階で異なる事象において得られる単純くじの間には, 補完的な関係は存在しない.

以下では, これらの前提のそれぞれに対する反例を紹介する.

エルスバーグのパラドックス (Ellsberg paradox). 次のような2つのつぼを考える. どちらにもボールが 100 個入っているが, つぼ1には赤50個, 白50個のボールが入っていることがわかっている一方で, つぼ2には赤と白がそれぞれいくつ入っているかはわからないとする.ここで仮に意思決定者は, つぼ2には赤 $x$ 個, 白 $100-x$ 個のボールが入っていると想定しているとしよう.
ここで, 次のような実験をする. まず, 赤が出たときのみ1万円獲得できるとした場合, 多くの人はつぼ1を好むという結果が出る. このとき人々は,$$\frac{50}{100}>\frac{x}{100}\Longrightarrow x<50$$と考えているはずである.
次に, 白が出たときのみ1万円を獲得できるとした場合, このときも, 多くの人はつぼ1を好むという結果が出る. つまり人々は,$$\frac{50}{100}>\frac{100-x}{100}\Longrightarrow x>50$$と考えているはずである. しかし, もし上述の仮定のように, 意思決定者が赤 $x$ 個, 白 $100-x$ 個のボールが入っていると想定しているならば, これは先ほどの結果と同時には起こりえない.
実験では, このような矛盾する結果が観察される. これは, 人々が不確実性に直面して選択をする際に, 必ずしも確率を念頭に置いていないことを示しており, したがってそもそも選好 $\succsim$ をくじの集合上に定義するのが不適切であることになる. もちろん, 上述の前提1への反例にもなっており, 独立性公理は成立しない.
状態依存効用関数 (state-dependent utility). 前提2への反例として, 効用関数が状態に依存する場合は独立性公理が満たされないことを確認するために, 次の2つの例を見ていこう.
はじめの例は, かさやアイスクリームに対する効用は天気という状態に依存するために, 独立性公理が満たされない状況を示すものである. 明日の天気の確率が, 晴れが50%, 雨が50% で与えられているものとする. 帰結の集合は $C=\lbrace かさ,アイスクリーム \rbrace$ とし, 「晴れのときアイスクリームを, 雨のときかさ」という状態依存くじ $L_1$ , $L_1$ と反対の $L_2$ を考える. 通常われわれは晴れの日にアイスクリームを, 雨の日にかさを欲しがると考えられるから, $L_1\succ L_2$ が成立する.ところが,2つの確率変数が導入する単純くじは同じで, ともに $(0.5, 0.5)$ である. もし選好関係 $\succsim$ が独立性公理を満たすなら, $L_1\sim L_2$ が成立するはずである. したがって $\succsim$ は独立性公理を満たさない. かさやアイスクリームに対する効用が状態依存的であるためである. 次に, くじの賞金に対する効用が雇用状態によって変わるために独立性公理が満たされない例を見ていこう. 労働者は来期に50%の確率で解雇されるとし, 「解雇されたとき20万円を, 解雇されていないとき0円を」という状態依存くじ $L_1$ , $L_1$ と反対の $L_2$ を考える. いずれのくじからも確率50%で賞金20万円が得られ, 確率50%で何も得られないにもかかわらず, 通常は $L_1\succ L_2$ が成立すると考えられ, 独立性公理が満たされない. ここで独立性公理が満たされないのは, くじ以外から得られる所得が雇用状態によって異なるためであり, そのためくじから得られる賞金に対する効用もまた雇用状態によって異なるからである.
もし雇用されたときに受け取る賃金を $w$ 万円とすると, $L_1$ と $L_2$ はそれぞれ,「解雇されたとき $20$ 万円, 解雇されないとき $w$ 万円」,「解雇されたとき $0$ 円, 解雇されないとき $20+w$ 万円」という総所得を与える. 何も持っていないときに獲得できる 20 万円は, $w$ 万円持っているときに獲得できる20万円よりも効用を大きく増加させる.つまり, 限界効用の観点からも $L_1$ が $L_2$ より望ましい.収入の一部のみを表すくじについては独立性公理は成立しないが, このように総所得を表すくじについては独立性公理が満たされる可能性がある.
帰結主義 (consequentialism). 父と2人の娘アリスとバーバラが無人島にいるとする.娘2人が同じ病気にかかったが, その病気に効く薬は1人分しかない.このとき, $A$ はアリスに投薬すること, $B$ はバーバラに投薬することを表すとすれば, 帰結の集合は$$C=\{A,B\}$$である. くじの集合の中には, 確率 $1$ でアリスが助かるくじと確率 $1$ でバーバラが助かるくじの間で父親は無差別である. つまり,$$(1,0)\sim(0,1)$$が成立しているとする.しかし, ここで父は運を天にまかせ, どちらの娘に薬を与えるかをコインで決めるほうを好むとする. つまり,$$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\succ(1,0),\quad\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\succ(0,1)$$が成立しているとする. このときには独立性公理は満たされない. なぜなら,$$\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}(1,0)+\frac{1}{2}(0,1),\quad(0,1)=\frac{1}{2}(0,1)+\frac{1}{2}(0,1)$$が成立するが, $(1,0)\sim(0,1)$ より, 独立性公理が満たされるならば $\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)\sim(0,1)$ が成立するからである.この原因は, 上述の独立性公理の依拠する前提3, すなわちくじを生む手続きが選好には全く影響しないと仮定する点にある.
情報開示のスピード (speed of information revelation). 帰結の集合を $C=\{1万円,0円\}$ とし, 以下のような2つの複合くじを考えよう. 複合くじ1は実現する単純くじの分布に不確実性がなく, 確率1/2で1万円が獲得でき, 確率1/2で0円になる単純くじが, 確率1で実現するようなくじとする.複合くじ2は実現する単純くじに不確実性がなく, 必ず1万円が獲得できる退化した単純くじが確率1/2で実現し, 必ず0円になる退化した単純くじが残りの確率1/2で実現するようなくじとする.
2つの複合くじから得られる単純化くじは全く同じ $(1/2,1/2)$ であり, 独立性公理が成立するならば, 2つの複合くじは同程度に好ましい. しかし, くじ2はくじ1よりも早い段階で, 獲得できる賞金の額が明らかになるため, 意思決定者によっては, くじ2をくじ1よりも選好する可能性がある. これは, ふつうは情報開示は早いほうがありがたいという判断による. 一方で, 遅いほうがありがたいような 例も考えることができて, たとえば冬休みに遊ぶというときにレポートを書かなければ赤点を取ることが明白なことがはっきりしてしまったあとで遊びに行くより, わからないほうが楽しめる, ということは考えられるだろう. いずれにせよ情報開示のスピードが問題になるような状況は独立性公理の成立に不利な証拠となっている. このようなときは独立性公理は成立しない. このことは上述の前提4への反例になっている. 情報開示のスピードに効用が依存するケースの分析に対しては, 帰納的 (recursive) 効用関数というものが考えられている.
心理的な負の補完性. 前提5に関する反例として補完性のある例を考えてみよう. 帰結の集合が, $$C=\{ベネチアへの旅行,ベネチアに関する映画を見る,家にいる\}$$で与えられるとする. 通常は, $(1, 0, 0) \succ (0, 1, 0) \succ (0, 0, 1)$ が成立する. Machina (1987) は,$$(0.99, 0, 0.01) \succ (0.99, 0.01, 0)$$という選好を持つ人がいる可能性を紹介し, その場合は独立性公理が満たされないことを指摘した. 単純くじ $(0.99, 0, 0.01)$ は, $$\left( \begin{array} { c c } { ( 1,0,0 ) } & { ( 0,0,1 ) } \\ { 0.99 } & { 0.01 } \end{array} \right)$$という複合くじの単純化くじ $(0.99)(1, 0, 0) + (0.01)(0, 0, 1)$ に等しい. 同様に, $(0.99, 0.01, 0)$ は,$$\left( \begin{array} { c c } { ( 1,0,0 ) } & { ( 0,1,0 ) } \\ { 0.99 } & { 0.01 } \end{array} \right)$$という複合くじの単純化くじ $(0.99)(1, 0, 0) + (0.01)(0, 1, 0)$ に等しい.
2つの複合くじを比較すると, 確率 $0.99$ で単純くじ $(1, 0, 0)$ が実現する点では共通しており, 確率 $0.01$ でそれぞれ $(0, 1, 0)$ と $(0, 0, 1)$ が実現する点で異なっている. すでに述べたように, 通常は $(0, 1, 0) \succ (0, 0, 1)$ が成立し, もし独立性公理が満たされるならば,$$(0.99)(1, 0, 0) + (0.01)(0, 1, 0) \succ (0.99)(1, 0, 0) +(0.01)(0, 0, 1)$$すなわち $$(0.99, 0.01, 0) \succ (0.99, 0, 0.01)$$ が成立するはずである. したがって, Machina が紹介した選好は独立性公理を満たしていない.
それでは, Machina が紹介したような選好を持つのはどのような人なのであろうか. Machina による説明では, その人は, 通常は家にいることよりもベネチアに関する映画を見ることのほうが好ましいと考えているが, ベネチアへ旅行できなくなったという状況の中では, ベネチアに関する映画を見ることに苦痛を感じ, 家にいるほうが望ましいと考えているのである.つまり $C$ の要素の間には物理的な補完性は存在しないが, 心の中には負の補完性があり, $(1, 0, 0)$ が 実現するかどうかが, $(0, 1, 0)$ と $(0, 0, 1)$ の選好に影響を与えているのである.
また, 補完性については次のような需要理論の例と対比すると分かりやすいだろう.
2財を右足用の靴と左足用の靴とする.効用関数 $u(x)=\min\{x_1,x_2\}$ が表す選好関係を $\succsim$ とし, $x=(4,4),y=(10,2),z=(2,10)$ とおく. $x$ では靴は4足, $y$ では2足できるので, $x\succsim$ が成立すると考えられる.
このとき, 2次元ベクトルの凸結合として $(1/2)x + (1/2)z$ と $(1/2)y + (1/2)z$ を定義すると, $(1/2)x + (1/2)z\succsim(1/2)y + (1/2)z$ は成立するだろうか.2 つの凸結合をそれぞれ計算すると,$$\frac { 1 } { 2 } x + \frac { 1 } { 2 } z = \frac { 1 } { 2 } ( 4,4 ) + \frac { 1 } { 2 } ( 2,10 ) = \frac { 1 } { 2 } ( 6,14 ) = ( 3,7 )$$ $$\frac { 1 } { 2 } y + \frac { 1 } { 2 } z = \frac { 1 } { 2 } ( 10,2 ) + \frac { 1 } { 2 } ( 2,10 ) = \frac { 1 } { 2 } ( 12,12 ) = ( 6,6 )$$となり, 前者からは3足, 後者からは6足の靴が得られる. したがって, $$(1/2)x+(1/2)z\not\succsim(1/2)y + (1/2)z$$となり, 独立性公理が満たされない.ここで独立性公理が満たされない原因は, 右足用の靴と左足用の靴は同時に消費され, 2財の間に補完的関係が存在する点にある.
アレーのパラドックスの数値を変えた例. 賞品の集合が, $$C=\{500万円,100万円,0円\}$$で与えられる場合に, 次の4つのくじについて考えてみよう.$$\left\{ \begin{array} { l } { L _ { 1 } = ( 0,1,0 ) } \\ { L _ { 1 } ^ { \prime } = ( 0.1,0,0.9 ) } \end{array} \right.$$ $$\left\{ \begin{array} { l } { L _ { 2 } = ( 0,0.01,0.99 ) } \\ { L _ { 2 } ^ { \prime } = ( 0.001,0,0.999 ) } \end{array} \right.$$多くの人の選好関係 $\succsim$ は $L_1 \succ L'_1$ と $L'_2 \succ L_2$ を満たすが, このような選好関係は独立性公理を満たさない. 実際, $L_3 =(0,0,1)$ とすると,$$L_2 = 0.01L_1 +0.99L_3,\quad c = 0.01L'_1 + 0.99L3$$よって, $L_1 \succ L'_1$ と $L'_2 \succ L_2$ がともに成立するならば, 独立性公理は満たされない.
$L_1$ と $L'_1$ を比較すると, $L_1$ は確実に100万円を与えるのに対して, $L'_1$ が与える賞金は500万円のときもあれば0円のときもある. つまり $L_1$ は $L'_1$ よりもリスクが小さい.他方, $L_2$ と $L'_2$ に対応する複合くじは, いずれも確率 $0.99$ で $L_3$ を与え, この場合は賞金はゼロである.残りの確率 $0.01$ で, それぞれ $L_1$ と $L'_1$ を与える. $L_1 \succ L'_1$ と $L'_2 \succ L_2$ がともに成立するということは, 確率 $0.99$ で賞金がゼロになることがわかると, 人々はより大きなリスクをとることを厭わなくなるということである.このとき, 独立性公理は満たされない.
最後に, 上のアレーのパラドックスの数値例につけ加える形で, 独立性公理を課すことの便利さに触れておこう. 上と同じ $L_1, L'_1$ と, 新たな単純くじ $L_4 =(1,0,0)$ との混合を考える. その単純化くじはそれぞれ,$$0.01L_1 + 0.99L_4 = (0.99 , 0.01, 0 ),\ 0.01L'_1 + 0.99L_4 = (0.991, 0 , 0.009)$$となる. これが左辺のような混合で得られたことをいったん忘れて, 右辺の2つの単純くじのあいだの比較を考えてみよう.これらはどちらも, 99%ないし99.1%という非常に大きな確率で500万円が得られ, 残りのわずかな確率で少額の帰結が実現するものである.
この解釈としては, わずかな確率で起こる大災害への備えという見かたができる.すなわち, はじめ500万円の資産をもっている人が, 前者のくじの状況では,1%の確率で100万円になる, すなわち400万円の損害を被る.後者のくじの状況では, もう少し小さい0.9%の確率で, しかし全財産を失う.つまり, 前者では相対的に大きな確率で小さな損失を被るという一方, 後者では小さな確率で大きな損失を被る.あるいは, 前者の状況から後者の状況に移ることは, 100万円の支出を行ってかわりに災害発生の確率を0.1%だけ引き下げることにあたる.
この2つの状況のどちらがよいか(災害の確率を引き下げる支出を行うべきか)という判断はこのままでは難しい. ところが, もし意思決定者の選好が独立性公理に従うならば, その選択は, 実は $L_1$ と $L'_1$ とのあいだの選択に等しい, ということを上の計算は示している. すなわち, もし意思決定者が独立性公理を検討してこの公理に従いたいと思うならば, $(0.99, 0.01, 0)$ と $(0.991, 0, 0.009)$ とのあいだの比較は, $(0, 1, 0)$ と $(0.1, 0, 0.9)$ とのあいだの, より簡単な比較に帰着されるし, またされなければならない, ということである. これは独立性公理の規範的な用いかたであり, 独立性公理が便利だと考えられる点である.

こうはいうものの, 独立性公理を課すことで様々な計算が簡単になる上に, 次に示す期待効用定理によって $\succsim$ が期待効用の形で表現できるという強みがある.

定理6. (期待効用定理) $\mathcal{L}$ 上の選好関係 $\succsim$ に対し, 次の命題は同値である.
  1. $\succsim$ が全順序で, 推移性, 連続性, 独立性公理を満たす.
  2. $\exists(u_1,\dots,u_N)\in\mathbf{R} ^ N,\forall L=(p_1,\dots,p_N), L'=(p'_1,\dots,p'_N)\in\mathcal{L},$ $$L\succsim L'\iff \sum _ { n = 1 } ^ { N } p _ { n } u _ { n } \geq \sum _ { n = 1 } ^ { N } p _ { n } ^ { \prime } u _ { n }$$
定義7. (期待効用関数) $(u_1,\dots,u_N)\in\mathbf{R}^N$ を1つ取り固定する. 関数 $U\colon\mathcal{L}\to\mathbf{R}$ を任意の $L=(p_1,\dots,p_N)\in\mathcal{L}$ に関して$$U ( L ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N } p _ { n } u _ { n }$$と定義し, 期待効用関数という.

$$L\succsim L^{\prime} \Longleftrightarrow U ( L ) \geq U \left( L ^ { \prime } \right)$$が成立するので $\succsim$ を表す効用関数はくじに関して線形であることがわかる. つまり, 期待効用定理は期待効用関数の存在を保証し, しかも独立性公理が効用関数に課す条件とは線形性そのものであることを示している.

補題8. ある $\overline{L},\underline{L}$ が存在して, 任意の $L\in\mathcal{L}$ に対して $\overline{L}\succsim L\succsim\underline{L}$ が成り立つ.
証明. 帰結の有限性と $\succsim$ の連続性により即座に従う.
補題9. $L\succ L', \alpha\in(0,1)\Longrightarrow L\succ\alpha L+(1-\alpha)L'\succ L'$
証明. 独立性公理より容易.
補題10. $\alpha,\beta\in[0,1]$ に対し, $$\beta>\alpha\Longleftrightarrow\beta\overline{L}+(1-\beta)\underline{L}\succ\alpha\overline{L}+(1-\alpha)\underline{L}$$
証明. $(\Longrightarrow)$ $\gamma=\dfrac{\beta-\alpha}{1-\alpha}\in(0,1]$ とおけば, $$\beta \overline { L } + ( 1 - \beta ) \underline { L } = \gamma \overline { L } + ( 1 - \gamma ) \left( \alpha \overline { L } + ( 1 - \alpha ) \underline { L } \right)$$ となる. ここで補題より $\overline { L } > \alpha \overline { L } + ( 1 - \alpha ) L$ を得, さらに適用して $\gamma \overline { L } + ( 1 - \gamma ) ( \alpha \overline { L } + ( 1 - \alpha ) \underline { L } ) > \alpha \overline { L } + ( 1 - \alpha ) \underline { L }$ を得るのでよい.
$(\Longleftarrow)$ 明らか.
補題11. $\forall L\in\mathcal{L}, \exists!\alpha_L\in[0,1], \alpha_L\overline{L}+(1-\alpha_L)\underline{L}\sim L$
証明. 集合 $\{\alpha\in[0,1]\mid\alpha\overline{L}+(1-\alpha)\underline{L}\succsim L\}$ と集合 $\{\alpha\in[0,1]\mid L\succsim \alpha\overline{L}+(1-\alpha)\underline{L}\}$ を考える. 連続性により両者とも閉, 全順序性により任意の $[0,1]$ 内の点は少なくともいずれかには属する. 両者が空でなく, $[0,1]$ の連結性から両者の共通元が存在することが示される. 一意性は補題10からよい.
補題12. 関数 $U\colon\mathcal{L}\to\mathbf{R}; L\mapsto\alpha_L\,(\forall L\in\mathcal{L})$ は選好関係 $\succsim$ を表現する.
証明. 任意のくじ $L,L'\in\mathcal{L}$ に対し, 補題11より$$L\succsim L'\iff\alpha_L\overline{L}+(1-\alpha_L)\underline{L}\succsim\alpha_{L'}\overline{L}+(1-\alpha_{L'})\underline{L}$$であるから, 補題10より $L\succsim L'\iff\alpha_L\geqq\alpha_{L'}$ が従い主張が示された.

以上の補題を用いて元の定理6を証明する.

定理6の証明. $\overline{L}\sim\underline{L}$ なら主張は自明なので $\overline{L}\succ\underline{L}$ の場合を示す.
独立性公理と補題12より, 愚直な計算によって関数 $U\colon\mathcal{L}\to\mathbf{R}; L\mapsto\alpha_L\,(\forall L\in\mathcal{L})$ が線形性を満たすことがわかる.
ここで $u_i=U(\mathbf{e}_i^{\mathsf{T}})\,(i=1,\dots,N)$ とする. $\mathbf{e}_i^{\mathsf{T}}$ は標準基底の転置であり, $i$ 番目の商品を確率 $1$ で獲得できるようなくじを指している. このとき, 線形性を思い出せば主張の式が即座に従う.
注意. 期待効用定理によって存在が保証される期待効用関数は, 完全に一意であるわけではなく, 正のアフィン変換の任意性がある.

期待効用定理の利点の1つに, 「自分の選好は全順序で, 推移性, 連続性, 独立性公理を満たす」と考える人は期待効用定理に従うことで最善の選択を取ることができると言えることがある. いわば normative な結果である. もちろん, 今示した段階ではさまざまな仮定がついており, こういった定理の証明の最中で「このような場合においてのみ成り立つ定理に過ぎない」ということを実感しなければ正しいリスク判断をすることは難しいが, それでも使い方を間違えなければ大きな指針になることは間違いない.

また, こうした議論によってリスク回避リスク比較などの話題に触れることができる. しかしながら, レポートにするには膨大すぎるほどの豊富さを誇っている上に, 測度論やLebesgue積分論などを説明せねばならず(数学科に向けて書くわけではないのだから!), 本レポートよりももっと数学色が強くなってしまう. 惜しいが, この大定理を示したことで本レポートを締めくくることとする.