空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

「数字を増やす遊び」

はじめに

この前あまりにも暇だったときに、ふと Wikipedia にもある「数字を増やす遊び」のことを思い出しました。私の地域では特に名前はなかったのですが、Wikipedia によれば「戦争」「割り箸」「マッチ」「プラフィン」「いちいち」「指殺し」、名前がわからない指遊びを調べる :: デイリーポータルZによれば他にも「マッチ棒」「足し算」「さいのつの(岐阜)」「ねぎ(新潟)」「いかいか(群馬)」「いんにーほ(長野)」「ばくだん(長野)」「指付き(岡山)」「かたつむり(鹿児島)」「分身(茨城)」「えんぴつ(埼玉)」「ゆびごろし(北海道)」などがあるようです。

ルール

  1. 先手・後手を決定する。
  2. 左手、右手で出している指の本数を $1$ 本にする。
  3. 交互に「攻撃」を繰り返し、先に両手が「消滅」したプレイヤーが負け。

とします。ここで、

  • 「攻撃」とは、自分の一方の手で出している指の本数を他の手の指の本数に足すことであり、自分ののもう一方の指を出していない手を対象とする「攻撃」を特に「分身」と呼びます。
  • $n$ 本の指を出している手が「消滅」するための必要十分条件は $n\geqq 5$ あるいは $n\equiv0\bmod5$ です。

必勝法

これは(千日手に陥った場合はどこかで終了させることにすれば)二人零和有限確定完全情報ゲームなので、双方のプレーヤーが最善手を指せば必ず先手必勝か後手必勝か引き分けかが決まります。

最もスタンダードなルールは、自分への攻撃を許さず $n\geqq5$ を消滅条件とするものです。この場合は後手必勝であることが知られています。

qiita.com

自分への攻撃を許すか、$n\equiv0\bmod5$ を消滅条件とするかの少なくとも一方を採用する場合は、千日手が存在することも知られています。

trap.jp

github.com

どうぶつしょうぎのように論文が出ていないかなと思ったら、解析結果だけが書かれたものは発見できました:田畑悠己, 大島真樹. (2017). 「手遊びゲーム「マッチ」における完全解析