空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

三体問題におけるラグランジュ点

数年前に「古典力学が古典になったことは一度もない」という講演のスライドが話題になっていたことをタイトルのインパクトからふと思い出したのですが, 久しぶりに眺めていたらなんと三体問題が大学入試として出題されているらしいことが判明したので早速覗いてみました.

問題1. (2003年 工学院大 第2問) 力学では, $2$ 個の質点が共通重心の周りを円運動するとき, 質量がこれらに比べて十分に小さい第 $3$ の質点もまた円運動をして互いの位置関係を変えないという特別な場合があり, この第 $3$ の質点が存在できる点はラグランジュ点とよばれ $5$ 個あることが知られている.
太陽と地球を $2$ 個の質点としたときの第 $1$ ラグランジュ点 ($\mathrm{L}_1$) は探査機が継続して観測するのに都合が良いので, 過去に何個かの探査機が投入されて来た. 創世記を意味するジェネシスの名を冠した NASA の探査機は $\mathrm{L}_1$ の近くで観測を続けており太陽からの粒子を $2$ 年半にわたり収集し地球に持ち帰る計画である.
この点の位置について考察してみよう. 太陽の質量を $M$, 地球の質量を $m$, 探査機の質量を $\mu$ とする. $M$ は $m$ よりも十分大きいので, 簡単のため, 太陽は静止しているとし, 地球は太陽の周りを, 軌道半径 $a$, 角速度 $\omega$ の円運動をしているものとする. $\mathrm{L}_1$ は太陽と地球とを結ぶ線分上の点で, 地球と同じ周期で太陽の周りを公転できる点である. $\mathrm{L}_1$ は地球と太陽を $x\colon 1-x$ に内分する地点であり, 探査機はそこに位置する. 万有引力定数を $G$ とする. 以下の空欄にあてはまる適切な式または数値を解答欄に答えよ.
仮に, 地球も探査機も空間に静止しているとする. このとき, 探査機が太陽から受ける引力の大きさ(イ)と地球から受ける引力の大きさ(ロ)が等しいことになる. その関係から決まる点は地球から約 $26$ 万 $\mathrm{km}$ にあり, これは月よりも地球に近い点である. すなわち月は地球よりも太陽からより大きな引力を受けているが, それでも地球の周りを安定に回れるのは, 次に見る地球の公転の効果による.
実際には, 地球や探査機は円運動をしている. さきに述べたように探査機は角速度 $\omega$ の円運動をしているので, $\mathrm{L}_1$ に固定した座標系で見ると, その遠心力の大きさは(ハ)であり, これが(イ)と(ロ)の差に等しい. また, 地球の円運動に関しても遠心力と太陽からの万有引力とのつり合いを考えると, $\omega^2=$(ニ)となる. 以上から, $n_1=$(ホ), $n_2=$(ヘ)を整数として, $M\{(1-x)^{n_1}-(1-x)^{n_2}\}=m$(ト)が得られる. $\dfrac{m}{M}$ が小さいので, これには, $x$ が $1$ に比べて小さい解が存在する. ここで, 一般に $u$ の絶対値が $1$ よりも十分小さいとき $(1+u)^n=1+nu$ と近似できることを用いると, 上の式から $x^3=$(チ)が得られ, ここに実際の値 ($a=1.5\times10^8\,\mathrm{km}, \dfrac{m}{M}=3\times10^{-6}$ として良い.) を当てはめると地球から $\mathrm{L}_1$ までの距離は約 $150$ 万 $\mathrm{km}$ となる.
実際には, $\mathrm{L}_1$ は不安定なつり合い点であり, また地球の軌道が円ではないこと, 月など他の天体からの引力により, $\mathrm{L}_1$ 付近にとどまれるのは約 $23$ 日である. ジェネシスはロケット噴射で軌道制御を行って $2$ 年半もの間, この付近に留まっている.
解答. 地球も探査機も空間に静止しているとき, 探査機の運動方程式は $$0=\boxed{G\dfrac{\mu M}{(1-x) ^ 2a ^ 2}}-\boxed{G\dfrac{\mu m}{x ^ 2a ^ 2}}$$ である. よって $\dfrac{x ^ 2}{(1-x) ^ 2}=\dfrac{m}{M}=3\times10 ^ {-6}$ を解くと $x=1.7\times10^{-3}$ より $xa=2.6\times10 ^ 5\,\mathrm{km}$ となり, 地球と月の距離 $3.8\times10^5\,\mathrm{km}$ はこれよりも長い. したがって月は地球よりも太陽からより大きな引力を受けているが, それでも地球の周りを安定に回れるのは地球の公転の効果による. 地球と探査機の運動方程式はそれぞれ $$\begin{cases} \boxed{\mu(1-x)a\omega ^ 2}=G\dfrac{\mu M}{(1-x)^2a^2}-G\dfrac{\mu m}{x^2}{a^2} \\ ma\omega^2=G\dfrac{Mm}{a^2}+G\dfrac{\mu m}{x^2a^2} \end{cases}$$ ここで $\dfrac{m}{M}\sim10^{-6}$, $\dfrac{\mu}{M}\sim10^{-8}$, $\dfrac{\mu}{m}\sim10^{-2}$ であるから, $$\omega^2=G\dfrac{M}{a^3}\left(1+\dfrac{\mu}{M}\dfrac{1}{x ^ 2}\right)\approx\boxed{G\dfrac{M}{a^3}}$$ 代入して次を得る. $$(1-x)^{\boxed{-2}}-(1-x)^{\boxed{1}}=\dfrac{m}{M}\boxed{x^{-2}}$$ よって $x\ll1$ なので (厳密には $x=0.009\dots$) 左辺で $1$ 次近似を実行して $$x^3=\boxed{\dfrac{m}{3M}}=1\times10 ^ {-6}$$ このとき $xa=1.5\times10 ^ 6\,\mathrm{km}$ が地球から $\mathrm{L}_1$ までの距離である.

と書いていたら, そういえば一ヶ月前に家庭教師で使った問題も同じ題材だったことを思い出しました. これはラグランジュ点のうち $\mathrm{L} _ 4$, $\mathrm{L} _ 5$ に相当する点であり, 両者はまとめてトロヤ点と呼ばれています. (d) は素直に計算するしかないものの, 前野氏の説明は示唆的です.

問題2. (2004年 東工大前期 第1問) 図のように3つの天体が互いの万有引力を受けながら原点 $\mathrm{O}$ を中心に一定角速度 $\omega$ で同一面上を円運動している. 天体1の質量を $M$, 天体2, 3の質量を $m$ とする. その他に天体はないものとする. 以下, 天体と一緒に回転している観測者の立場から考察し, 図中の二つの直交する軸 $x$, $y$ は同じ角速度 $\omega$ で回転しているものとする. このように3つの天体が一定角速度で運動するには図の距離 $a$, $b$, $c$ 間にある関係式が満足されていなければならない. 万有引力定数を $G$ とする. 以下の設問に答えよ. 答に天体1と天体2の距離 $L=\sqrt{a^2+(b+c)^2}$ を用いてよい.
(a) 各々の天体間に働く万有引力と, それぞれの天体の遠心力の向きを図中に示し, それらの大きさを記入せよ.
(b) 各々の天体での力のつり合いの式を $x$ 軸方向と $y$ 軸方向に分解して書け.
(c) 回転の中心 $\mathrm{O}$ が3つの天体の重心になっていることを示せ.
(d) 3つの天体の位置が正三角形の頂点にあることを示せ.
(e) 角速度 $\omega$ を $G$, $M$, $m$, $a$ を用いて表せ. f:id:all_for_nothing:20210413200636p:plain

単純作業なので $\omega=\sqrt{\dfrac{G(2m+M)}{8a ^ 3}}$ だけ書いておきます.