空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

すべての鋭角三角形に対し各面がそれと合同な四面体が存在すること (1999年 京大後期理系数学 第4問)

問題. (1999年 京大後期理系 第4問) $\triangle{ABC}$ は鋭角三角形とする. このとき, 各面すべてが $\triangle{ABC}$ と合同な四面体が存在することを示せ.
注. すべての面が合同な四面体のことを等面四面体と呼ぶ.
証明. $\triangle{ABC}$ は鋭角三角形なので, ある正の実数 $x$, $y$, $z$ が存在して $$\begin{cases} 2 x^{2}=AB^{2}+BC^{2}-CA^{2}>0 \\ 2 y^{2}=BC^{2}+CA^{2}-AB^{2}>0 \\ 2 z^{2}=CA^{2}+AB^{2}-BC^{2}>0 \end{cases}$$ となる. このとき $$\begin{cases} x ^ 2+y ^ 2=BC ^ 2 \\ y ^ 2+z ^ 2=CA ^ 2 \\ z ^ 2+x ^ 2=AB ^ 2 \end{cases}$$ が成り立つので f:id:all_for_nothing:20201122162921p:plain のような直方体が存在し, $DA=BC$, $DB=CA$, $DC=AB$ であるから, 四面体 $ABCD$ は各面すべてが $\triangle{ABC}$ と合同な四面体である.