空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

2013年 阪大理系数学 第5問

$n$ を $3$ 以上の整数とする. $n$ 個の球 $K_1,$ $K_2,$ $\dots,$ $K_n$ と $n$ 個の空の箱 $H_1,$ $H_2,$ $\dots,$ $H_n$ がある. 以下のように $K_1,$ $K_2,$ $\dots,$ $K_n$ の順番に, 球を箱に $1$ つずつ入れていく. まず, 球 $K_1$ を箱 $H_1,$ $H_2,$ $\dots,$ $H_n$ のどれか $1$ つに無作為に入れる. 次に, 球 $K_2$ を, 箱 $H_2$ が空ならば箱 $H_2$ に入れ, 箱 $H_2$ が空でなければ残りの $n-1$ 個の空の箱のどれか $1$ つに無作為に入れる. 一般に, $i=2,$ $3,$ $\dots,$ $n$ について, 球 $K_i$ を, 箱 $H_i$ が空ならば箱 $H_i$ に入れ, 箱 $H_i$ が空でなければ残りの $n-i+1$ 個の空の箱のどれか $1$ つに無作為に入れる.

(1) $K_n$ が入る箱は $H_1$ または $H_n$ である. これを証明せよ.

$K_i$ $(2\leqq i\leqq n-1)$ は $H_i$ が空ならば必ず $H_i$ に入れられるので, 球 $K_n$ を箱に入れる際には箱 $K_2$ から $K_{n-1}$ まですべて空でない. したがって $K_n$ が入る箱は $H_1$ または $H_n$ である.

(2) $K _ {n-1}$ が $H_{n-1}$ に入る確率を求めよ.

$n=3$ のとき $\dfrac{2}{3}$ である. $n\geqq4$ のとき, (1) と同様の論法により, 球 $K_{n-1}$ を入れる際には箱 $H_2,$ $\dots,$ $H_{n-2}$ は空でないので, すでに箱に入れられた $n-2$ 個の球 $K_1,$ $\dots,$ $K_{n-2}$ のうちの $1$ つは箱 $H_1,$ $H_{n-1},$ $H_n$ のいずれかに無作為に入っている. $K_{n-1}$ が $H_{n-1}$ に入るのはすでに $H_1$ か $H_n$ に球が入っているときなので $\dfrac{2}{3}$.