空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

軸の直交する放物線が4点で交わるなら共円

直交する放物線の軸が $x$ 軸, $y$ 軸に平行になるように座標軸を設定すると, 放物線の方程式は $py=x ^ 2+ax+b$, $qx=y ^ 2+cy+d$ と表される. 共有点を $4$ つ持っているので, $Q = \dfrac{ (q-a) ^ 2}{4} + \dfrac{ (p-c) ^ 2}{4} - b - d $ とおくと, $$\left(x-\dfrac{q-a}{2}\right) ^ 2+\left(y-\dfrac{p-c}{2}\right) ^ 2=Q$$ を満たす $(x,y)$ が $4$ 組存在する. $Q \leq 0$ であると $1$ 組以下しか存在しないことになるので $Q \gt 0$. よってこれは $\left(\dfrac{q-a}{2},\dfrac{p-c}{2}\right)$ を中心とする半径 $\sqrt{Q}$ の円を表し, $4$ つの共有点はこの円において同一円周上にある.