空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

2015年 開成中 算数を解き直してみた

この前ちょうど中学入試があって「そういえば当時の自分は算数で結構テンパったなぁ」と思い返したので, 5年がけのリベンジをしてみました.


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グダグダ書いてありますが, 大事なのは $\langle (\cdot, \cdot) \rangle \colon \mathbf{Z} \times [0,1)_{\mathbf{Q}} \to \mathbf{Z}$ とみなせるので, $\mathbf{Z}$ 側で順序付けることができるということです. 特に (3) で分母を固定しているということは, $\mathbf{Z}$ 側を一つとって固定すると, $\langle \text{ア} \rangle=54$ を満たす $\text{ア}$ が (存在するとすれば) 一意に定まるというところが本質的です. そのまま大小関係についても順序を保存しているので, 適当に見ていけばよいです.

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本番で全く解けませんでした. (1) は, エとオの角度を見て $カ=オ\times 2-エ$ とすぐわかります. ここから自分は全く分からなかったのです……あたかも連立方程式を解くだけかのように感じてしまってドツボにハマり, 自明な (4)-$ウ$ だけなんとか…というところだったと記憶しています.

図形の問題を出しているのだから図形的考察をしなければなりません.

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というわけで $ア+イ=カ\times 2+オ=(オ\times 2-エ)\times 2+オ=オ\times 5-エ\times 2$ を得ます. (3) は

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というようにカを足してやることで $イ+ウ+カ+オ=エ+カ$ となるので $イ+ウ+オ=エ$ を得ますで.

あとは本当に連立方程式です. $ア$ は図から明らかに $キ-(イ+ウ)\times 4$ で, (3) より $キ-(エ-オ)\times 4=キ+オ\times 4-エ\times 4$ となります. $イ$ は (2) より $オ\times 5-エ\times 2-ア$ で, ちょうど $ア$ がわかっていますので, $エ\times 2+オ-キ$となります. $ウ$ は右図の上の部分でしたので $キ-エ-オ\times 2$ となります.

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実はこれは「幼稚園コース」と呼ばれるランニングコースを題材にした問題です. AB間が道灌山坂, CD間は向陵稲荷坂に対応しています. 最近は近隣住民へご迷惑をかけたり交通上の安全への配慮だったりであまり使われなくなりました. 幼稚園コースという言葉自体も, 運動部の走り込み以外はここ数年間全く聞かなくなるほど死語になりつつあると感じています.

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ちなみに (大問2で動揺していたのでしょうか) 本番での記憶は全くありません. とりあえず整理すると図のようになります.

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2秒目で両者が BC 上に初めて対峙し, ゆう君がすでに進んでいた $100\times\dfrac{4}{7}\text{m}$ の残りの $\dfrac{300}{7}\text{m}$ を同じ速さで進むから, 結局 B から $\dfrac{550}{7}\text{m}$ だけ離れた地点で出会います. ここまでは本番でも解けた覚えがあります.

問題はここからです. グダグダと整理してもよいのですが, 問われているのは「(2) で求めた場所からどちらへ何mずれた場所」なのです. 絶対的な座標ではなく相対的な差をわざわざ問うているということは, 少し発想を転換する必要があります. 二人が一周にかかる時間の差は $\dfrac{4}{21}$ 分なので, まさひろ君が (2) の場所に着くときにゆう君はあと $\dfrac{4}{21}$ 分の距離 $\dfrac{400}{21}\text{m}$ を残しています. 同じ速さで向かい合うので $\dfrac{200}{21}\text{m}$ だけ B 側にずれています.

というわけで当初の $\dfrac{550}{7}\text{m}$ を $\dfrac{200}{21}\text{m}$ だけずらしていくので, $\dfrac{550}{7}\div\dfrac{200}{21}=8+\dfrac{1}{4}$ すなわち BC 上で 9 回出会ったのちに AB 上で出会うこととなります. その間, AD 上でも 9 回出会っていますので, トータルとしては 19 回目に初めて AB 上ですれ違います.

その地点を調べる際は, 「まさひろ君の 10 回目の B 到着」と「ゆう君の 9 回目の A 到着」を計算して出会い算でよいです. 前者は 9 周したあとに D から B まで行くことで達成されるので, $\left(5+\dfrac{20}{21}\right)\times 9 + 2 + 1 = \dfrac{396}{7}\text{m}$ で, 後者は 9 周するだけなので $\left(6+\dfrac{1}{7}\right)\times 9 = \dfrac{387}{7}$ となります. その差の $\dfrac{9}{7}$ 分だけゆう君は $84\times\dfrac{9}{7}=108\text{m}$ 進んでいるので残りの $12\text{m}$ を $12\times\dfrac{126}{126+84}=\dfrac{36}{5}\text{m}$ の場所で出会います.

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これはめちゃめちゃ簡単で, (1)(2) はサービス問題, (3)(4) が Cavalieri の原理 (いわゆる等積変形) が本質的に効いてくる問題です. 本番は割とスルスル完答できて嬉しかった思い出があります.


やっぱり大問 3 が本当にイヤらしい問題でした. 他の大問は歳を経ることで見通しがかなり良くなりますが, こういうのは自分が一番嫌いなタイプです. まあ, 一年後の大学受験に向けてぼちぼち頑張って行こうと思えたので良しとしましょう.