空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

Weyl の一様分布定理と Benford の法則

Arnol'd (1989) には次のような問題が載っています:

Consider the first digits of the numbers $2 ^ n$: $1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4,\dots$. Does the digit $7$ appear in this sequence? Which digit appears more often, $7$ or $8$? How many times more often?

これは Benford の法則と呼ばれます. まずは Does the digit $7$ appear in this sequence? という問だけ解決しておきましょう. $2 ^ {46}=70368744177664$ です.

解答. $2 ^ n$ の首位の数が $k$ であるとは, ある自然数 $r$ が存在して, $$k\cdot 10 ^ r\leq 2 ^ n < (k+1)\cdot 10 ^ r$$となることである. 辺々, 底を $10$ とする対数を取り $$r+\log _ {10} k\leq n\log _ {10} 2 < r+\log _ {10} (k+1)$$ を得る. $\alpha=\log _ {10} 2$ , $(n\alpha)$ を $n\alpha$ の小数部分とすると, $$\log _ {10} k\leq (n\alpha) < \log _ {10} (k+1)$$ $\alpha$ は無理数であるから, Weyl の一様分布定理より, 数列 $\lbrace n\alpha\rbrace _ {n = 1} ^ {\infty}$ は法 $1$ で一様分布する. したがって, $$\displaystyle \lim _ {N \to \infty}\frac{\#\lbrace n\alpha \mid n \leq N, (n\alpha) \in [\log _ {10} k, \log _ {10}(k+1))\rbrace}{N}$$ は $\log _ {10}(k+1) - \log _ {10}k $ すなわち $$\log _ {10} \left(1+\dfrac{1}{k}\right)$$ となり, その値は順に 30.1%, 17.6%, 12.5%, 9.7%, 7.9%, 6.7%, 5.8%, 5.1%, 4.6% となる.

参考文献

Arnol’d, V. I. (1989). Mathematical methods of classical mechanics (Weinstein, A., Vogtmann, K., Trans.). Springer-Verlag New York. (Original work published 1974).