空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

ワイルの一様分布定理とベンフォードの法則

Mathematical Methods of Classical Mechanics, V. I. Arnold では Poincaré の回帰定理の箇所で次のような問題を載せている:

Consider the first digits of the numbers $2 ^ n$: $1,2,4,8,1,3,6,1,2,5,1,2,4,\dots$. Does the digit $7$ appear in this sequence? Which digit appears more often, $7$ or $8$? How many times more often?

これはベンフォードの法則と呼ばれる. なお, 紹介する前に Does the digit $7$ appear in this sequence? という問だけ解決しておこう:$2 ^ {46}=70,368,744,177,664$.

$2 ^ n$ の首位の数が $k$ であるとは, ある自然数 $r$ が存在して, $$k\cdot 10 ^ r\leq 2 ^ n < (k+1)\cdot 10 ^ r$$となることである. 辺々, 底を $10$ とする対数を取り
$$r+\log _ {10} k\leq n\log _ {10} 2 < r+\log _ {10} (k+1)$$
を得る. $\alpha=\log _ {10} 2$ , $(n\alpha)$ を $n\alpha$ の小数部分とすると, $$\log _ {10} k\leq (n\alpha) < \log _ {10} (k+1)$$ $\alpha$ は無理数であるから, ワイルの一様分布定理より, 数列 $\lbrace n\alpha\rbrace _ {n = 1} ^ {\infty}$ は法 $1$ で一様分布する. したがって,
$$\displaystyle \lim _ {N \to \infty}\frac{\#\lbrace n\alpha \mid n \leq N, (n\alpha) \in [\log _ {10} k, \log _ {10}(k+1))\rbrace}{N}$$
は $\log _ {10}(k+1) - \log _ {10}k $ すなわち $$\log _ {10} \left(1+\dfrac{1}{k}\right)$$ となる.

この値は順に 30.1%, 17.6%, 12.5%, 9.7%, 7.9%, 6.7%, 5.8%, 5.1%, 4.6% となる.