空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

対称式の小ネタ

有理数 $a,b,c$ に対し, $a+b+c, 2(ab+bc+ca), 3abc$ が整数であったならば, $a,b,c$ は整数となることを示せ.

$(x-a)(x-b)(x-c)=0$ という方程式を考えてみたい. この解はいずれも $a,b,c$ だけであるので扱いやすいからだ. そこで次のように変形してみる.

$$6(x-a)(x-b)(x-c)=6x ^ 3-6(a+b+c)x^2+6(ab+bc+ca)x-6abc=0$$

$a+b+c, 2(ab+bc+ca), 3abc$ が整数なので, ある整数 $\alpha, \beta, \gamma$ が存在して,

$$6x ^ 3-6\alpha x^2+3\beta x-2\gamma=0$$

ここで, $x=\dfrac{q}{p}$ (ただし $p$ と $q$ は互いに素な整数で, $p>0$ としても一般性を失わない) とおき, $p=1$ を示す.

$$6\left(\frac{q}{p}\right)^3-6\alpha \left(\frac{q}{p}\right)^2+3\beta \left(\frac{q}{p}\right)-2\gamma=0$$

$p{=}\mathllap{/\,} 0$ なので,

$$6q^3-6\alpha pq^2+3\beta p^2q-2\gamma p^3=0$$

すなわち,

$$6q^3=p(6\alpha q^2-3\beta pq+2\gamma p^2)$$

ここで $p$ と $q$ は互いに素なので, $p\mid 6$ である. そして $p\geqq 2$ では最小降下法的な論法で矛盾するので, $p=1$ となる. ( $p=1$ というのは, そもそも $x=q$ であり, そのような $x$ がある場合は必ずあるので大丈夫である)