空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

ノルムの正定値性

ノルムを定義するときに、よく正定値性と斉次性と劣加法性を課しますが、正定値性ではなくて「ノルムが0 と ベクトルが0 が同値」にしてもOKだったことを最近知りました。多分一般的には常識なんでしょうけど、非常識なのでメモしておきます。ノルム空間 $(V,\lVert\cdot\rVert)$ に対し,

$${}^{\forall}v\in V, 0=\lVert0\rVert=\left\lVert\frac{1}{2}v+\left(-\frac{1}{2}v\right)\right\rVert\leqq \left\lVert\frac{1}{2}v \right\rVert+ \left\lVert-\frac{1}{2}v\right\rVert=\left\lVert v \right\rVert$$

Bourbakiの位相の定義もそうでしたが、定義や公理は限りなく簡潔にすべきですよね。