空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

位相多様体の次元のwell-defined性

定義1.(位相多様体

位相空間 $X$ がHausdorff空間で第二可算公理を満たし, 任意の $x\in X$ に対して $x$ の開近傍 $U$, 自然数 $n$, $\mathbb{R}^n$ の開集合 $U'$ および同相写像 $\psi\colon U\to U'$ が存在するとき, $X$ を位相多様体という.

定理2.

$\mathbb{R}^m\cong\mathbb{R}^n\Longrightarrow m=n$(ただし$m,n\geqq1$)

証明. 同相写像 $f\colon\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n$ をとる. ここで $\mathbb{R}^ m $ 上の点 $p$ を固定する. すると, $f\colon\mathbb{R}^m\setminus\lbrace p\rbrace\to\mathbb{R}^n\setminus\lbrace f(p)\rbrace$ は同相写像となるので, $\mathbb{R}^m\setminus\lbrace p\rbrace\cong S^{ m -1}$ と $\mathbb{R}^n\setminus\lbrace f(p)\rbrace\cong S^{n-1}$ の簡約ホモロジー群は同型である. よって球面の簡約ホモロジー群から, $m=n$ が従う. $\blacksquare$

これによって各点 $x\in X$ に対応する $n$ は唯一であることが保証され, この $n$ を $\dim_x X$ と書くことにし, 任意の $x\in X$ に対して $\dim_x X=n$ となるとき, $X$ を $n$次元位相多様体という. あくまでも各点ごとの次元がwell-definedなことは言えるが, 全点で言えるかどうかはわからない. ちゃんと逐一確認する必要がある......が, 僕はそういうヤバい例を知らない. ぜひ教えてください.