空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

ブルバキ位相の公理

Bourbaki Topologie générale では次のように位相を定義しています.

DÉFINITION 1.

On appelle structure topologique (ou plus brièvement topologie) sur un ensemble $X$ une structure constituée par la donnée d'un ensemble $\mathcal{O}$ de parties de $X$ possédant les propriétés suiuantes (dites axiomes des structures topologiques) :

(O1) Toute réunion d'ensembles de $\mathcal{O}$ est un ensemble de $\mathcal{O}$.

(O2) Toute intersection finie d'ensembles de $\mathcal{O}$ est un ensemble de $\mathcal{O}$.

Les ensembles de $\mathcal{O}$ sont appelés ensembles ouverts de la structure topologique définie par $\mathcal{O}$ sur $X$.

L'axiome (O1) implique en particulier que la réunion de la partie vide de $\mathcal{O}$, c'est-à-dire l'ensemble vide appartient à $\mathcal{O}$. L'axiome (O2) implique que l'intersection de la partie vide de $\mathcal{O}$, c'est-à-dire l'ensemble $X$ appartient à $\mathcal{O}$.

ここで $\bigcap\varnothing$ を考えることで $X\in\mathcal{O}$ を示しているわけですが,

$$\bigcap_{\lambda \in \Lambda }X _ {\lambda }=\lbrace x\in U\mid \forall \lambda \in \Lambda\colon x\in X _ {\lambda }\rbrace$$
でした. しかし, $\bigcap\varnothing$ を取って大丈夫なのでしょうか? この点に疑義を呈していたブログもあったのですが, この場合は大丈夫です. なぜなら普遍集合(この場合は $X$ )をこの場合取って, ちゃんと固定しているからです.