空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

中国剰余定理

3世紀から5世紀にかけて成立したと言われている中国の算術書『孫子算経』に

ある物を3つずつ数えると2つ余り, 5つずつ数えると3余り, 7つずつ数えると2余るとき, 物の個数はいくらか.

という問題があった. 解答は

3で割ると2余る数として140とおく. 5で割ると3余る数として63とおく. 7で割ると2余る数として30とおく. これらを足し合わせて233を得る. これから210を引いて答えを得る. 一般に、3つずつにして物を数えて余りに70をかける. 5で割った余りに21をかける. 7で割った余りに15をかける. 106以上ならば105を引くことで答えを得る.

とある. これは環の同型

$$\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/105{\mathbb{Z}}$$

において$(\overline{2},\overline{3},\overline{2})\mapsto\overline{23}$となることが背景にあるといえる. この同型を与える定理を中国剰余定理 (Chinese remainder theorem) という.

補題

$A$ のイデアル $I_1,\dots,I_n$ がどの2つも互いに素( $i\,{=}\mathllap{/\,} j$ ならば $I_i+I_j=A$)ならば$$I_1\dots I _ n=\bigcap _ {i=1} ^ n I_i$$

証明. $n=1$ のときは明らか.

$n=2$ のとき成り立てば $I_1I_2I_3=I_1\cap I_2I_3=I_1\cap I_2\cap I_3$ のように帰納的に適用でき主張が従うので, $n=2$ のときだけ示せば十分である.

$I_1+I_2=A$ であるから $x+y=1$ なる $x\in I_1$, $y\in I_2$ が存在する. このとき $IJ$ と $I\cap J$ の定義より明らかに $I_1I_2\subset I_1\cap I_2$ であり, また任意の $I_1\cap I_2$ の元 $a$ に対し

$$a=a\cdot1=a(x+y)=ax+ay\in I_1I_2$$
であるから, $I_1I_2=I_1\cap I_2$ である. $\blacksquare$

中国剰余定理

$A$を単位的可換環とし, $A$のイデアル$I_1,\dots,I_n$がどの2つも互いに素(すなわち$i\,{=}\mathllap{/\,} j$ならば$I_i+I_j=A$)であると仮定する. このとき自然な環準同型

$$A\to A/I_1\cdots I_n; x\mapsto(x+I_1,\dots,x+I_n)$$
全射であり, 環同型
$$R/I_1\dots I_n\to R/I_1\times\cdots\times R/I_n$$
を誘導する.

証明. $n=1$ のとき明らか.

$n=2$ のとき成り立てば $R/I_1I_2I_3\cong R/I_1I_2\times R/I_3$ のように帰納的に適用でき主張が従うので, $n=2$ のときだけ示せば十分である.

$n=2$ のとき, 自然な写像$$f _ 1 \colon R\to R/I _ 1;\,x\mapsto x+I _ 1$$$$f _ 2\colon R\to R/I _ 2;\,x\mapsto x+I _ 2$$に対し定まる

$$f\colon R\to R/I_1\times R/I_2;\,r\mapsto\left(f_1(r),f_2(r)\right)$$
は環準同型である.

まず核を決定する. $r\in\mathrm{Ker}{f}\Longleftrightarrow f_1(r)=f_2(r)=0$ より

$$\mathrm{Ker}{f}=\mathrm{Ker}{f_1}\cap\mathrm{Ker}{f_2}=I_1\cap I_2=I_1I_2$$
である.

次に全射性を示して像を決定する. $a_1+a_2=1$ なる $a_1\in I_1$, $a_2\in I_2$ に対し, $a_2=1-a_1\equiv1\pmod{I_1}$ より $f_1(a_1a_2)=f_1(a_1)$ であり, 同様にして $f_2(a_1a_2)=f_2(a_2)$ であるから, $$f(a_1a_2)=\left(f_1(a_1),f_2(a_2)\right)$$より全射性が示された. したがって $\mathrm{Im}{f}=R/I_1\times R/I_2$ である.

$f$ に対して準同型定理を適用することにより主張を従う. $\blacksquare$

系1.

どの2つも互いに素な $f_1,\dots,f_n\in K[X]$( $i {=}\mathllap{/\,} j$ ならば $(f_i,f_j)=K[X]$ )に対して

$$K[X]/(f_1\cdots f_n)\cong K[X]/(f_1)\times\cdots\times K[X]/(f_n)$$

系2.

どの2つも互いに素な整数 $n_i$ ( $i=1,\dots, k$ ) に対して, $k$ 本の連立方程式 $x\equiv a_i \pmod{n_i}$ を満たす $x$ は $0\leqq x\lt n _ 1\cdots n_k$ の範囲に一意に存在する.