空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

受験

赤本の東工大物理2002年第2問の解答について

1ヶ月半前にちょっと不適切なことを教えてしまったので自戒としてメモしておきます. 問題. (東工大物理2002年第2問 一部略) 図のように液体の入った円筒状の容器の中に, 熱をよく通すシリンダーがさかさまに浮いている. 容器とシリンダーにはそれぞれ, 気密…

三体問題におけるラグランジュ点

数年前に「古典力学が古典になったことは一度もない」という講演のスライドが話題になっていたことをタイトルのインパクトからふと思い出したのですが, 久しぶりに眺めていたらなんと三体問題が大学入試として出題されているらしいことが判明したので早速覗…

コンデンサーへの導体板の挿入

はじめに 電磁気学を教えていたときにボヤいた記事をふと思い出しました. www.all-for-nothing.com ここで「合成容量」について色々と書きましたが, 実際に練習問題として解いてもらったものを紹介してみます. 面積 $L ^ 2$ の正方形の極板でできた, 電気容…

右下がり直線型サイクルの熱効率

問題. (2000年 東工大物理 第2問) 滑らかに動くピストンのついた円筒容器に単原子分子理想気体を入れ, 図に示す通り, 圧力 $p$ と体積 $V$ を A の状態から B, C の状態を経て再び A の状態にもどるように変化させた. ただし, すべての区間は直線に沿っての…

ドリフト

電磁場中における質量 $m$, 電荷 $q$ の荷電粒子の運動を考察する. 断りのない限り, $q$ は正負いずれの値も取りうるものとする. 磁束密度 $\vec{B}$ は, 時間的に変化することはないとする. また, 磁束密度 $\vec{B}$ の向きは, 図1のように紙面の裏から表…

接点の個数と接線の本数について

よく数Ⅱの $3$ 次関数で「接点の個数と接線の本数が一致するから……」という “おまじない” を書くことが多いと思いますが、それと同時に $4$ 次関数などでは一般に成り立たないということもよく注意されていると思います。それは相異なる $2$ つ以上の点で接…

Basel 問題

問題1. (1990年 東工大後期 第2問) $n$ を $2$ 以上の整数とする. (1) $n-1$ 次多項式 $P_n(x)$ と $n$ 次多項式 $Q_n(x)$ ですべての実数 $\theta$ に対して $$\begin{aligned} \sin(2n\theta)&=n\sin(2\theta)P_n(\sin^2\theta),\\ \cos(2n\theta)&=Q_n(\s…

望遠鏡和による (等差)×(等比) 型数列の和の導出

数列 $\lbrace (ak+b)r ^ k\rbrace$ (ただし $r\neq1$ とする) の和 $$S _ n=\sum _ {k=1} ^ n(ak+b)r ^ k$$ を求めることをよく考える機会があります. 一般的には「公比を掛けて差を取る」という方法が紹介されていますが, これは添字の管理が非常に (特に…

受験数学における束 (pencil) について

束 (pencil) とは射影幾何学に由来する概念であり, もともとは Desargues の用いた ordonnance に端を発していますが, 代数幾何学における 1 次元の線形系も線形束 (linear pencil) と呼ばれています. ここではそのような射影幾何的・代数幾何的な背景には立…

極座標における回転体の体積

問題1. (2012年慶医第4問・一部省略) (1) $0\leqq\alpha0$ とする. 極座標 $(r,\theta)$ に関する条件 $$0\leqq r\leqq R,\ \alpha\leqq\theta\leqq\beta$$ により定まる図形を $x$ 軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を $T$ とする. $T$ を $\alpha$…

Markov 兄弟の不等式

定理1. (Markov 兄弟の不等式) $\lVert f\rVert\coloneqq\displaystyle\max_{-1\leqq x\leqq1}|f(x)|$ と定め, $p$ を $n$ 次以下の多項式, $T_n(x)$ を第一種 Chebyshev 多項式とすると, $$\lVert p^{(k)}\rVert\leqq\lVert T_n^{(k)}\rVert\lVert p\rVert$…

前文の内容全体を意味上の主語とする結果の分詞構文

By its nature, the expensive habit is not only physically gratifying but also beyond the financial reach of all but a fortunate few, thus making it a treat for the mind as well as the body. There is no lasting satisfaction to be gained fro…

すべての鋭角三角形に対し各面がそれと合同な四面体が存在すること

問題. (1999年 京大後期理系 第4問) $\triangle{ABC}$ は鋭角三角形とする. このとき, 各面すべてが $\triangle{ABC}$ と合同な四面体が存在することを示せ. 注. すべての面が合同な四面体のことを等面四面体と呼ぶ. 証明. $\triangle{ABC}$ は鋭角三角形な…

鏡像法

平板導体に電荷を近づけると, その付近の導体表面に反対符号の電荷が誘導されて, 導体と電荷の間に静電気力が働く. この力 $\overrightarrow{F}$ を求めるため, 以下の設問の順にしたがって調べてみよう. まず, 距離 $2a$ だけ離れた 2 点 Q, Q' にそれぞれ…

Lagrange 補間

問題1. (1961年 東大文理共通 第2問) $x$ の四次式 $f(x)$ において $$\begin{aligned} f(-0.2)&=2.226\\ f(-0.1)&=2.460\\ f(0)&=2.718\\ f(0.1)&=3.004\\ f(0.2)&=3.320 \end{aligned}$$ であるとき, $f'(0)$ を求めよ. もちろん $f(x)=ax ^ 4+bx ^ 3+cx ^…

並べ替え不等式・Chebyshev の不等式

今回の記事はどうしても横に長くなるので横スクロールしていただく数式がそれなりに多くあります. PC やタブレットの場合は問題なく表示されますが, スマートフォンなどの場合で不自然だと思ったら右のスクロールしていただくようお願い申し上げます. 定理1.…

1979年 京大理系数学 第3問

(1) は微分でゴリ押す以外にはこれしか方法がないはずですが, (2) に関してはこれが一番速くて自然だと思います. 勘違いをしていたらぜひ教えて下さい. (1) 変数 $t$ が $t>0$ の範囲を動くとき $$\begin{aligned} f(t) &=\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}+\sqrt…

2001年 東大文系数学 第4問

白石 $180$ 個と黒石 $181$ 個の合わせて $361$ 個の碁石が横に一列に並んでいる. 碁石がどのように並んでいても, 次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあることを示せ. その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと, 残りは白石と黒石が同数とな…

2013年 阪大理系数学 第5問

$n$ を $3$ 以上の整数とする. $n$ 個の球 $K_1,$ $K_2,$ $\dots,$ $K_n$ と $n$ 個の空の箱 $H_1,$ $H_2,$ $\dots,$ $H_n$ がある. 以下のように $K_1,$ $K_2,$ $\dots,$ $K_n$ の順番に, 球を箱に $1$ つずつ入れていく. まず, 球 $K_1$ を箱 $H_1,$ $H_2,…

ボーアの量子条件と修正万有引力の法則

面白い問題を見つけたのでメモしておきます. 余剰次元の導入に使えそうです. 水素原子の線スペクトルは, 電子と原子核 (陽子) の間に働く力に関する基礎的な情報を与える. この力の性質を詳しく調べるため, 以下では一つの水素原子内にある電子と原子核の間…

1980年 東大文系数学 第3問の自然な別解

1980年 東大文系 第3問 $n$, $a$, $b$, $c$, $d$ は $0$ または正の整数であって, $$ \left\{\begin{array}{l} a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=n^{2}-6 \\ a+b+c+d \leqq n \\ a \geqq b \geqq c \geqq d \end{array}\right. $$ を満たすものとする. このような数…

A question of living where they are or not living at all

The roots of vegetables (which Aristotle says are their mouths) attach them fatally to the ground, and they are condemned like leeches to suck up whatever sustenance may flow to them at the particular spot where they happen to be stuck. Cl…

Heavy NP Shift

2019年9月6日の高校2年生のときに同級生向けに作ったプリントを発掘したのでアーカイブとして原文ママで公開します. 間違っている点や微妙な点もそれなりに存在しており, しかも全体として (まだ若かったので) かなりイキっていて申し訳ありませんが, 今から…

OB講義案: Doppler 効果

以下は今年の数研の部誌に寄稿した記事です. 高3にもなって出すのは少し憚られましたが, 今年はコロナで合宿がなくなったという異例の事態であって, とくに新入生は一切その空気感を知ることができないので, せめてOB講義の雰囲気だけでも味わってくれればと…

東京大学和文英訳問題集 1972-2020

免責事項. 本記事は東大英語の和文英訳を集められるだけ集め、その拙訳と共に公開したものです。したがって、英訳案は当ブログのオリジナルのものであり東京大学が公表しているものではなく、また他の答案例を否定するものでもないことを最初に述べさせてい…

多角形の自由度

数理哲人氏という方が学びエイドで「数理哲人の闘う数学【特別講座】戦後の東大」というマニアックな講座を開講なさっているのですが、そこで扱われていた次の問題がどうにも分からず一度挫折してしまいました。 1946年 帝大 工学部 第1問 同一平面上にある…

1991年 東大理系数学 第5問

整数は幅 $1$ で均一に分布し, それを整数の離散性という……何を今更当たり前のことを, と思うかもしれません. 問題. (1991年 東大理系 第5問) $xy$ 平面上, $x$ 座標、$y$ 座標がともに整数であるような点 $(m,n)$ を格子点とよぶ. 各格子点を中心として半径…

on the contrary と to the contrary の違い

この二つを適当にしていたので反省の念も込めて整理しておこうと思います。 on the contrary 主に文頭で文修飾の副詞句として働き、前文の内容に対立させる場合は「それどころかむしろその反対で」「別の見方をすれば」と、相手の言葉に反論する場合は「とん…

「〜するとすぐに」の意味を持つ英語表現

受験英語で非常によく聞かれる「〜するとすぐに」については、現代英語レベルでは次を押さえておけば完璧です(もし本質的な抜けがあれば是非コメントをお願いします)。 SVを伴う as soon as the moment the instant the minute the second instantly direc…

ノミネート法

注意書き 清史弘 (2003) を読み終えたのですが, 解の配置は割と多くの参考書でも確立されているようなことが多かったのに対し, 2.4 「ノミネート方式」についてはネット上でも情報がほぼ見当たらない上に, 現在出版されている 清史弘 (2016) の p. 114 にし…