空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

1980年東大文系数学第3問の自然な別解

1980年 東大文系 第3問 $n$, $a$, $b$, $c$, $d$ は $0$ または正の整数であって, $$ \left\{\begin{array}{l} a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=n^{2}-6 \\ a+b+c+d \leqq n \\ a \geqq b \geqq c \geqq d \end{array}\right. $$ を満たすものとする. このような数…

A question of living where they are or not living at all

The roots of vegetables (which Aristotle says are their mouths) attach them fatally to the ground, and they are condemned like leeches to suck up whatever sustenance may flow to them at the particular spot where they happen to be stuck. Cl…

Heavy NP Shift

2019年9月6日の高校2年生のときに同級生向けに作ったプリントを発掘したのでアーカイブとして原文ママで公開します. 間違っている点や微妙な点もそれなりに存在しており, しかも全体として (まだ若かったので) かなりイキっていて申し訳ありませんが, 今から…

Peskin, Schroeder 2.1(a) について

2019年4月の高校2年生のときに湧源クラブの日曜サロンでの講演にむけ準備した原稿を最近発掘したので, 記事としてまとめ直して公開します. 説明が不十分な点が多く見受けられますが, 講演録としての史料性を鑑みて原文ママで打ち込むことにしました. あまり…

OB講義案: Doppler 効果

以下は今年の数研の部誌に寄稿した記事です. 高3にもなって出すのは少し憚られましたが, 今年はコロナで合宿がなくなったという異例の事態であって, とくに新入生は一切その空気感を知ることができないので, せめてOB講義の雰囲気だけでも味わってくれればと…

理科Ⅰ類を志望します

東京大学教養学部理科Ⅰ類を志望することにしました。 そもそも、小学生のころから東京大学で勉強したいと考えており、中学生になったら米国大(とくに狙っていたのは Harvard や MIT など)と東京大学の併願という形で考えておりました。理数系が好きだった…

東京大学和文英訳問題集 1972-2020

免責事項. 本記事は東大英語の和文英訳を集められるだけ集め、その拙訳と共に公開したものです。したがって、英訳案は当ブログのオリジナルのものであり東京大学が公表しているものではなく、また他の答案例を否定するものでもないことを最初に述べさせてい…

oh と O の違い

次の空欄には oh と O のどちらを入れるのがふさわしいでしょうか? ( ) say can you see, by the dawn's early light, ( ), I didn't mean to do that, sorry. Help me ( ) God! Help me, ( ), God! oh の意味はみんな知っているので O の方を詳しく研究し…

wah fi see di ting u have weh mek mi feel week girl

最近友人とクレオールについて議論することが多かったので、中学生のころによく聴いていた Sia の Cheap Thrills ft. Sean Paul の一節をもとに遊んでみました。一応問題形式になっていますが試験問題としてではなくあくまでも問題形式として解説しようとい…

多角形の自由度 (1946年 東京帝国大学 第一工学部 第1問)

受験も残るところ半年を迎え、8月3日から続けている若気の至り「戦後の東大数学を全て解くまで帰れま10」も1946年から始まりついに1970年代に突入を迎えました。実はこのアホプロジェクトの構想は、数理哲人氏という方が学びエイドで開講なさっている「数理…

Cavalieri の原理 (トントン) で積分論を使わずに直交する円柱の共通部分の体積を求める

定理1. (Cavalieri の原理) $A$, $B$ を平面・空間上の図形, $l$ を直線とする. $l$ に垂直な直線・平面が $A$, $B$ によって切り取られる長さ・面積の比が常に $a\colon b$ ならば, $A$, $B$ の面積・体積比は $a\colon b$ である. Cavalieri の原理を適用…

整数の離散性 (1991年 東大理系 第5問)

整数は幅 $1$ で均一に分布し, それを整数の離散性という……何を今更当たり前のことを, と思うかもしれません. 問題. (1991年 東大理系 第5問) $xy$ 平面上, $x$ 座標、$y$ 座標がともに整数であるような点 $(m,n)$ を格子点とよぶ. 各格子点を中心として半径…

ヘブライ文字の書き方?

どんな文字もそうですけど、活字体と筆記体は割と乖離が大きいことが多く、特にラテン文字に関しては中学生が最初にぶち当たる壁の一つなのではないかと思いますし、キリル文字なんかはうにゃうにゃが多すぎて「適当にグリグリ書いてロシア人に見せたら単語…

線形漸化式の一般解

数列 $\lbrace p_n \rbrace$, $\lbrace q_n \rbrace$ に対し $$a _ {n+1}=p_n a_n+q_n$$ を線形漸化式というとき, 数列 $\lbrace a_n \rbrace$ の一般項を求めてみたい. ここで $p_n=0$ となる $n$ があれば, それは初項 $q_n$ の線形漸化式とみなせるので任…

on the contrary と to the contrary の違い

この二つを適当にしていたので反省の念も込めて整理しておこうと思います。 on the contrary 主に文頭で文修飾の副詞句として働き、前文の内容に対立させる場合は「それどころかむしろその反対で」「別の見方をすれば」と、相手の言葉に反論する場合は「とん…

「〜するとすぐに」の意味を持つ英語表現

受験英語で非常によく聞かれる「〜するとすぐに」については、現代英語レベルでは次を押さえておけば完璧です(もし本質的な抜けがあれば是非コメントをお願いします)。 SVを伴う as soon as the moment the instant the minute the second instantly direc…

【最大・最小問題】ノミネート法 (方式) とは? (2000年 東大文系 第2問)

注意書き 清史弘 (2003) を読み終えたのですが, 解の配置は割と多くの参考書でも確立されているようなことが多かったのに対し, 2.4 「ノミネート方式」についてはネット上でも情報がほぼ見当たらない上に, 現在出版されている 清史弘 (2016) の p. 114 にし…

解の配置問題 集大成 〜なぜ判別式・グラフの軸・両端の値を考えるのか〜 (2018年 東大理系 第4問, 1996年 東大文理共通 第2問, 2015年 東大理系 第1問)

目次 はじめに 舞台設定 $3$ 次関数 $2$ 次関数 問題のパターン 武器 解の公式 中間値の定理 解と係数の関係 パラメータ分離 (定数分離) 一般論 $0$ 個 $1$ 個 開区間 閉区間 $2$ 個 開区間 閉区間 少なくとも $1$ 個 開区間 閉区間 演習問題 参考文献 はじ…

iPhone の Safari でも数式を綺麗に閲覧する方法

iOS 11 まではこんな汚いフォントではなかったのですが、実は画面をぽちぽち押していると変更できます。1回目から微妙な間隔を開けて2回目を押し続ける必要があります。サイトのどこかで適用すれば全部で適用されるので、上手く反応するところを探してみまし…

なぜ 1 は素数ではないのか?:too simple to be simple

多くの定義では素数を「$1$ より大きい正の整数のうち正の約数が $1$ と自分自身のみであるもの」としますが, いくつか最近思うところがあったのでメモしておきます. “up to 同伴” で同一視するんだからプラマイ含めて素数でいいじゃないか ($\pm2, \pm3,\do…

want more O1 to be C as well as O2 構文

少し前に議論になって自分で少し考えたのでメモしておきます。たぶん示唆的だと思うのでブログの記事としても公開しておきます。 とりあえず次の6つの文をご覧ください。# は適切なコンテクストを考慮する必要がある場合で、その判定は筆者と数人の友人で下…

IOL Sample Problems の誤植

IOL が無くなったとはいえ、JOL 用に勉強していた際に見つけた誤植を記しておくのは後世の方々に役立つと思うのでメモしておきます。リンクは https://ioling.org/problems/samples/ です。 Ancient Greek の (1) the donkey of the masterō は ō が余分 Lat…

コロナウイルスで国際言語学オリンピックが飛んでしまった

It is with great regret that the International Board of the IOL has to announce the cancellation of this year’s Olympiad, scheduled to take place in Latvia, July 20th-24th. と4月7日にIOL公式サイトで発表され、Taking into consideration the c…

【統計力学入門】ゴム弾性や断熱変化を題材として

この記事は, 学校の三学期の物理のために頑張って書いたものの期末試験がなくなったので無になったシケプリを供養したものです. $\gdef\excep#1{\left\langle #1 \right\rangle} \phantom{\excep{a}}$ 注意. 高校生を対象に落とし込んだ内容である以上, 学問…

コロナウイルスで海外大留学が不可能になってしまった

題名の通りですが、中1のときから夢見て自分なりに努力し続けてきたものの、新型コロナウイルスの流行に伴って米国大受験が不可能になってしまいました。理由はいろいろありますが、大きく分けてこんな感じです。 共通試験のSAT/ACTが軒並み中止。しかも次の…

誤読され続けてきた 2000年 慶應・文 の英語から見る to 不定詞の massive pied-piping

薬袋 (2003) で2000年の慶応文学部の問題が議論されていました. 色々思うところがあったのでメモしておきます. 以下の英文は, イギリスの小説家で元バーミンガム大学英文科教授の David Lodge (1935-) のエッセイ “Why Do I write?” (1986) である. とあり, …

なぜ弧度法は well-defined なのか?

数Ⅱの三角関数に入るといきなり「弧度法」という謎のシステムを理解しなければ三角関数の単元自体に全くついていけず数Ⅲの微積分では大惨事になるというのはよく知られていることです. しかし大抵の場合は「$180^{\circ}$ を $\pi$ としなさい」という本当に…

曲線束について

以下において 共有点をもつならば・交わる という条件は非常に本質的であって問題を解く際は必ず確認する必要があることに十分注意せよ. 定義. (曲線束) $2$ 曲線 $C_1 \colon f(x,y)=0$, $C_2 \colon g(x,y)=0$ が共有点を持つならば, $C_1$, $C_2$ の共有…

n! が平方数になることはあるのか?

補題1. (Bertrand の仮説) 任意の自然数 $n$ に対して, $n 命題2. $n!$ が平方数となるための必要十分条件は $n=1$ である. 証明. $n \geq 2$ のとき $n!$ は素因数を少なくとも $1$ つもつので, 最大の素因数 $p$ を取ってこれる. $n!$ が平方数であると仮…

2015年 開成中算数を解き直してみた

この前ちょうど中学入試があって「そういえば当時の自分は算数で結構テンパったなぁ」と思い返したので, 5年がけのリベンジをしてみました. グダグダ書いてありますが, 大事なのは $\langle (\cdot, \cdot) \rangle \colon \mathbf{Z} \times [0,1)_{\mathbf…