空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

Basel 問題 (1990年 東工大後期 第2問・2020年 慶医 第3問・2018年 気象大学校・2019年 東海医・2003年 日本女子大 理 自己推薦)

問題1. (1990年 東工大後期 第2問) $n$ を $2$ 以上の整数とする. (1) $n-1$ 次多項式 $P_n(x)$ と $n$ 次多項式 $Q_n(x)$ ですべての実数 $\theta$ に対して $$\begin{aligned} \sin(2n\theta)&=n\sin(2\theta)P_n(\sin^2\theta),\\ \cos(2n\theta)&=Q_n(\s…

望遠鏡和による (等差)×(等比) 型数列の和の導出 (2003年・2009年・2017年 センター数学)

数列 $\lbrace (ak+b)r ^ k\rbrace$ (ただし $r\neq1$ とする) の和 $$S _ n=\sum _ {k=1} ^ n(ak+b)r ^ k$$ を求めることをよく考える機会があります. 一般的には「公比を掛けて差を取る」という方法が紹介されていますが, これは添字の管理が非常に (特に…

まだロピタルの定理で消耗してるの?

メモを整理していたら, 大昔に友人に $$\lim _ {x\to0}\frac{x-\sin{x}}{x ^ 3}$$ を l’Hôpital の定理を使わずに教えてくれと聞かれたことをふと思い出しました. 当時の自分は次の画像を作って送ったようです. こんなパズルみたいな計算は嫌なので l’Hôpita…

受験数学における束 (pencil) について (1998年 京大後期理系数学 第3問・2019年 阪大文(理)共通数学 第3(5)問・2002年 東大理系数学 第3問)

束 (pencil) とは射影幾何学に由来する概念であり, もともとは Desargues の用いた ordonnance に端を発していますが, 代数幾何学における 1 次元の線形系も線形束 (linear pencil) と呼ばれています. ここではそのような射影幾何的・代数幾何的な背景には立…

Feynman の微分法 +α

Feynman は複雑な関数を微分する際に対数微分法を応用した手法を考案しました. 本稿では少しの改善を加えて具体例とともに Feynman の微分法を紹介します.

2次方程式の解の公式と対称性

$2$ 次方程式 $ax ^ 2+bx+c=0$ の解を求める際は一般的に平方完成をするのですが, これは些かテクニカルなきらいがあり, なぜそのような発想になるのかが一見すると自明ではありません. しかしながら, この方程式を解くことは実はある種の対称性と関係してお…

極座標における回転体の体積 (2012年 慶医数学 第4問・2009年 京大理系数学 第5問・2017年 東大理系数学 第6問)

問題1. (2012年慶医第4問・一部省略) (1) $0\leqq\alpha0$ とする. 極座標 $(r,\theta)$ に関する条件 $$0\leqq r\leqq R,\ \alpha\leqq\theta\leqq\beta$$ により定まる図形を $x$ 軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を $T$ とする. $T$ を $\alpha$…

Markov 兄弟の不等式 (1988年 東工大数学 第2問)

定理1. (Markov 兄弟の不等式) $\lVert f\rVert\coloneqq\displaystyle\max_{-1\leqq x\leqq1}|f(x)|$ と定め, $p$ を $n$ 次以下の多項式, $T_n(x)$ を第一種 Chebyshev 多項式とすると, $$\lVert p^{(k)}\rVert\leqq\lVert T_n^{(k)}\rVert\lVert p\rVert$…

前文の内容全体を意味上の主語とする結果の分詞構文 (1995年 阪大後期英語)

By its nature, the expensive habit is not only physically gratifying but also beyond the financial reach of all but a fortunate few, thus making it a treat for the mind as well as the body. There is no lasting satisfaction to be gained fro…

ダイアモンドの二項演算 (AMC 10A 2016 #23・USA TSTST 2019-1)

問題1. (AMC 10A 2016 #23) A binary operation $\operatorname{\diamondsuit}$ has the properties that $a\operatorname{\diamondsuit}(b\operatorname{\diamondsuit}c) = (a\operatorname{\diamondsuit}b)\cdot c$ and that $a\operatorname{\diamondsuit…

すべての鋭角三角形に対し各面がそれと合同な四面体が存在すること (1999年 京大後期理系数学 第4問)

問題. (1999年 京大後期理系 第4問) $\triangle{ABC}$ は鋭角三角形とする. このとき, 各面すべてが $\triangle{ABC}$ と合同な四面体が存在することを示せ. 注. すべての面が合同な四面体のことを等面四面体と呼ぶ. 証明. $\triangle{ABC}$ は鋭角三角形な…

鏡像法 (1980年 東大物理 第2問)

平板導体に電荷を近づけると, その付近の導体表面に反対符号の電荷が誘導されて, 導体と電荷の間に静電気力が働く. この力 $\overrightarrow{F}$ を求めるため, 以下の設問の順にしたがって調べてみよう. まず, 距離 $2a$ だけ離れた 2 点 Q, Q' にそれぞれ…

「偉いのでXした」構文

世の中にはオタク構文なるものが絶えず生成されていますが、その中でもあまり脚光を浴びていないのに知らず知らずのうちに影響力を持っていると筆者が考えるものとして「偉いのでXした」という構文があります。実例としてはTwitterを見るしかなく、2020年11…

二重鉤括弧の書き方

二重鉤括弧とは『』のことですが、板書などでは のように厚みが出ることで不格好な感じになることが多いかと思います。ほとんどの場合は のように一筆書きで書いているからです。字の綺麗さを気にするようになった中学生のあたりから折に触れてこの問題に悩…

Lagrange 補間 (1961年 東大文理共通数学 第2問, 2002年 京大後期理系数学 第4問)

問題1. (1961年 東大文理共通 第2問) $x$ の四次式 $f(x)$ において $$\begin{aligned} f(-0.2)&=2.226\\ f(-0.1)&=2.460\\ f(0)&=2.718\\ f(0.1)&=3.004\\ f(0.2)&=3.320 \end{aligned}$$ であるとき, $f'(0)$ を求めよ. もちろん $f(x)=ax ^ 4+bx ^ 3+cx ^…

第2の that の省略

免責事項. 本稿はまだ筆者が整理しきれていないことを書き連ねた現在整備中の記事です。予想外に読者諸賢からコメントを頂けたので、受験勉強の合間を縫ってちょこちょこ書くつもりですが、実質的にまだ書き途中の記事になっていることをご了承ください。 伊…

並べ替え不等式・Chebyshev の不等式 (1987年 東大理系 第5問, 1986年 京大文理共通 第1問)

今回の記事はどうしても横に長くなるので横スクロールしていただく数式がそれなりに多くあります. PC やタブレットの場合は問題なく表示されますが, スマートフォンなどの場合で不自然だと思ったら右のスクロールしていただくようお願い申し上げます. 定理1.…

対称式の小ネタ

有理数 $a,b,c$ に対し, $a+b+c, 2(ab+bc+ca), 3abc$ が整数であったならば, $a,b,c$ は整数となることを示せ. $\alpha=a+b+c, \beta=2(ab+bc+ca), \gamma=3abc$ とおく. 方程式 $6(x-a)(x-b)(x-c)=6x ^ 3-6\alpha x ^ 2+3\beta x-2\gamma=0$ の解 $a,b,c$ …

数列の和から一般項を求めるときの場合分け

数列 ${a_n}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とするとき, 次の等式が成り立つ. $$a _ n=\begin{cases} S _ n-S _ {n-1} & (n \geq 2)\\ S _ 1 & (n=1) \end{cases}$$ 数列 $a_n$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S _ n$ が $S _ n=2 ^ n$ であるとき, …

軸の直交する放物線が4点で交わるなら共円

直交する放物線の軸が $x$ 軸, $y$ 軸に平行になるように座標軸を設定すると, 放物線の方程式は $py=x ^ 2+ax+b,$ $qx=y ^ 2+cy+d$ と表される. 共有点を $4$ つ持っているので, $$Q = \dfrac{ (q-a) ^ 2}{4} + \dfrac{ (p-c) ^ 2}{4} - b - d$$ とおくと, $…

1979年 京大理系数学 第3問

(1) は微分でゴリ押す以外にはこれしか方法がないはずですが, (2) に関してはこれが一番速くて自然だと思います. 勘違いをしていたらぜひ教えて下さい. (1) 変数 $t$ が $t>0$ の範囲を動くとき $$\begin{aligned} f(t) &=\sqrt{t}+\frac{1}{\sqrt{t}}+\sqrt…

2001年 東大文系数学 第4問

白石 $180$ 個と黒石 $181$ 個の合わせて $361$ 個の碁石が横に一列に並んでいる. 碁石がどのように並んでいても, 次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも一つあることを示せ. その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと, 残りは白石と黒石が同数とな…

2013年 阪大理系数学 第5問

$n$ を $3$ 以上の整数とする. $n$ 個の球 $K_1,$ $K_2,$ $\dots,$ $K_n$ と $n$ 個の空の箱 $H_1,$ $H_2,$ $\dots,$ $H_n$ がある. 以下のように $K_1,$ $K_2,$ $\dots,$ $K_n$ の順番に, 球を箱に $1$ つずつ入れていく. まず, 球 $K_1$ を箱 $H_1,$ $H_2,…

「…現在での」ではない as of

勉強メモを整理していたら次のようなツイート(の文章だけ)が保存されていたので記事にしてまとめておきます。 In my tortured ears there sounds unceasingly a nightmare whirring and flapping, and a faint, distant baying as of some gigantic hound.…

ボーアの量子条件と修正万有引力の法則 (2018年 大阪大学 第3問 A)

面白い問題を見つけたのでメモしておきます. 余剰次元の導入に使えそうです. 水素原子の線スペクトルは, 電子と原子核 (陽子) の間に働く力に関する基礎的な情報を与える. この力の性質を詳しく調べるため, 以下では一つの水素原子内にある電子と原子核の間…

卒業文集

因数分解・統語的アイドリズム、およびその意味連関 〈発音=発話〉現象について 一般に、冗長な流れを戸惑った細胞的な可換半群は(そのアブギダ性によって!)東京の街並みという街並みを遍く舐め回すことに湾曲していることが知られている(Minerva, 2002…

1980年 東大文系数学 第3問の自然な別解

1980年 東大文系 第3問 $n$, $a$, $b$, $c$, $d$ は $0$ または正の整数であって, $$ \left\{\begin{array}{l} a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=n^{2}-6 \\ a+b+c+d \leqq n \\ a \geqq b \geqq c \geqq d \end{array}\right. $$ を満たすものとする. このような数…

A question of living where they are or not living at all

The roots of vegetables (which Aristotle says are their mouths) attach them fatally to the ground, and they are condemned like leeches to suck up whatever sustenance may flow to them at the particular spot where they happen to be stuck. Cl…

Heavy NP Shift

2019年9月6日の高校2年生のときに同級生向けに作ったプリントを発掘したのでアーカイブとして原文ママで公開します. 間違っている点や微妙な点もそれなりに存在しており, しかも全体として (まだ若かったので) かなりイキっていて申し訳ありませんが, 今から…

Peskin, Schroeder 2.1(a) について

2019年4月の高校2年生のときに湧源クラブの日曜サロンでの講演にむけ準備した原稿を最近発掘したので, 記事としてまとめ直して公開します. 説明が不十分な点が多く見受けられますが, 講演録としての史料性を鑑みて原文ママで打ち込むことにしました. あまり…