空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

Cavalieri の原理(トントン)で積分論を使わずに直交する円柱の共通部分の体積を求める

定理1. (Cavalieri の原理) $A$, $B$ を平面・空間上の図形、$l$ を直線とする。$l$ に垂直な直線・平面が $A$, $B$ によって切り取られる長さ・面積の比が常に $a\colon b$ ならば、$A$, $B$ の面積・体積比は $a\colon b$ である。 Cavalieri の原理を適用…

「論理の貫通」

僕は「論理の貫通」という語が好きだ。この語は林修氏の授業用語であり、風の噂によれば2009年ごろに発明されたものらしい。現在では氏のアイデアをパクったのだろうか、巷でもちらほらと聞くようになってきた。僕は数年間にわたり氏の講義を受けてきたもの…

整数の離散性と同値変形 (1991年東大理系第5問)

整数は幅 $1$ で均一に分布し、それを整数の離散性という……何を今更当たり前のことを、と思うかもしれません。ところがいざ問題を解くとなるとこの性質を適切に使うことができていない説明や解答が大半なのです。 問題. (1991東大理系第5問) $xy$ 平面上、$x…

ヘブライ文字の書き方?

どんな文字もそうですけど、活字体と筆記体は割と乖離が大きいことが多く、特にラテン文字に関しては中学生が最初にぶち当たる壁の一つなのではないかと思いますし、キリル文字なんかはうにゃうにゃが多すぎて「適当にグリグリ書いてロシア人に見せたら単語…

線形漸化式の一般解

数列 $\lbrace p_n \rbrace$, $\lbrace q_n \rbrace$ に対し $$a _ {n+1}=p_n a_n+q_n$$ を線形漸化式というとき, 数列 $\lbrace a_n \rbrace$ の一般項を求めてみたい. ここで $p_n=0$ となる $n$ があれば, それは初項 $q_n$ の線形漸化式とみなせるので任…

on the contrary と to the contrary の違い

この二つを適当にしていたので反省の念も込めて整理しておこうと思います。 on the contrary 主に文頭で文修飾の副詞句として働き、前文の内容に対立させる場合は「それどころかむしろその反対で」「別の見方をすれば」と、相手の言葉に反論する場合は「とん…

「〜するとすぐに」の意味を持つ英語表現

受験英語で非常によく聞かれる「〜するとすぐに」については、現代英語レベルでは次を押さえておけば完璧。(もし本質的な抜けがあれば是非コメントをお願いします) SVを伴う as soon as the moment the instant the minute the second instantly directly im…

本当にオススメできるブックガイド・リンク集

前の記事を大幅に追記・修正したため新規記事として公開いたします。本当にオススメできるものだけを取り上げるようにして、個人的に勉強になっていてもオススメできないものは外しました。 大学受験 過去問 数学 英語 現代文 古文 漢文 物理 生物 語学 中英…

【最大・最小問題】ノミネート法 (方式) とは? (含: 2000年東大文系第2問)

注意書き 清史弘『数学・受験教科書 12. 受験数学と教えられない数学』(SEG出版, 2003) を読み終えたのですが, 解の配置は割と多くの参考書でも確立されているようなことが多かったのに対し, 2.4 「ノミネート方式」についてはネット上でも情報がほぼ見当た…

解の配置問題 集大成 〜なぜ判別式・グラフの軸・両端の値を考えるのか〜 (含: 2018年東大理系第4問, 1996年東大文理共通第2問)

追記 本ブログではスマートフォン版の表示用に「長い別行立ての数式はスクロールできるようにする」ということで表示がバグらないようにしています。おかしいなと思ったら大体それは右にスクロールできる数式なので必ず画面を擦ってみてください。 はじめに …

iPhone の Safari でも数式を綺麗に閲覧する方法

みなさんはこのフォントはお好きでしょうか? 私はこの世からこのフォントを無くすために日々祈っております。iOS 11 まではこんなものではなかったのですが、それ以来変わってしまったので非常に辛く悲しい日々を送っていました。MathJax ではなく $\KaTeX$…

なぜ 1 は素数ではないのか?:too simple to be simple

多くの定義では素数を「 $1$ より大きい正の整数のうち正の約数が $1$ と自分自身のみであるもの」としますが、いくつか最近思うところがあったのでメモしておきます。 “up to 同伴” で同一視するんだからプラマイ含めて素数でいいじゃないか ($\pm2, \pm3,\…

want more O2 to be C as well as O2 構文

少し前に議論になって自分で少し考えたのでメモしておく。たぶん示唆的だと思うのでブログの記事としても公開しておく。 とりあえず次の6つの文を見ていただきたい。# は適切なコンテクストを考慮する必要がある場合であり、その判定は筆者と数人の友人で下…

IOL Sample Problems の誤植

IOL が無くなったとはいえ、JOL 用に勉強していた際に見つけた誤植を記しておくのは後世の方々に役立つと思うのでメモしておきます。リンクは https://ioling.org/problems/samples/ です。 Ancient Greek の (1) the donkey of the masterō は ō が余分 Lat…

コロナウイルスで国際言語学オリンピックが飛んでしまった

It is with great regret that the International Board of the IOL has to announce the cancellation of this year’s Olympiad, scheduled to take place in Latvia, July 20th-24th. と4月7日にIOL公式サイトで発表され、Taking into consideration the c…

TeX の環境構築をやめて HackMD と Overleaf に完全移行した

TeX

背景 実は二ヶ月ほど前に MacBook Pro (13-­inch, 2016, Four Thunderbolt 3 Ports) の13 インチ MacBook Pro ディスプレイバックライト修理プログラム - Apple サポートとMacBook、MacBook Air、MacBook Pro キーボード修理プログラム - Apple サポートに出…

【統計力学入門】ゴム弾性や断熱変化を題材として

この記事は、学校の三学期の物理のために田崎統計力学に沿って頑張って書いたものの期末試験がなくなったので無になったシケプリを供養したものです。数式が途中で途切れている場合はスクロールできるようになっています。$\gdef\excep#1{\left\langle #1 \r…

コロナウイルスで海外大留学が不可能になってしまった

題名の通りですが、中1のときから夢見て自分なりに努力し続けてきたものの、新型コロナウイルスの流行に伴って米国大受験が不可能になってしまいました。理由はいろいろありますが、大きく分けてこんな感じです。 共通試験のSAT/ACTが軒並み中止。しかも次の…

誤読され続けてきた00年慶應文学部の英語から見る to 不定詞の massive pied-piping

薬袋善郎『学校で教えてくれない英文法』(研究社) を読んでいたら, 2000年の慶応文学部の問題が議論されていた. 色々思うところがあったのでメモしておく. 「以下の英文は, イギリスの小説家で元バーミンガム大学英文科教授の David Lodge (1935-) のエッセ…

なぜ弧度法は well-defined なのか?

数Ⅱの三角関数に入るといきなり「弧度法」という謎のシステムを理解しなければ三角関数の単元自体に全くついていけず数Ⅲの微積分では大惨事になるというのはよく知られたことである. しかし大抵の場合は「$180^{\circ}$を $\pi$ としなさい」という本当に意…

はてなブログに KaTeX を導入してモダンな数式環境を作る方法

TeX

追記 七誌さんの記事を読んだのは去年の一月で、この記事を書くためにもう一回読んだのだがそれでも誤認して変わっていないのかと思い以下のような説明を書いてしまった。実際はちゃんと 0.11.1 になっていると冒頭にかかれていたどころか実は自分が紹介した…

曲線束について

以下において 共有点をもつならば・交わる という条件は非常に本質的であって問題を解く際は必ず確認する必要があることに十分注意せよ. 定義. (曲線束) $2$ 曲線 $C_1 \colon f(x,y)=0$, $C_2 \colon g(x,y)=0$ が共有点を持つならば, $C_1$, $C_2$ の共有…

軸の直交する放物線が4点で交わるなら共円

直交する放物線の軸が $x$ 軸, $y$ 軸に平行になるように座標軸を設定すると, 放物線の方程式は $py=x ^ 2+ax+b$, $qx=y ^ 2+cy+d$ と表される. 共有点を $4$ つ持っているので, $Q = \dfrac{ (q-a) ^ 2}{4} + \dfrac{ (p-c) ^ 2}{4} - b - d $ とおくと, $$…

n! が平方数になることはあるのか?

命題. $n!$ が平方数となるための必要十分条件は $n=1$ である. 補題. (Bertrand の仮説) 任意の自然数 $n$ に対して, $n \lt p \leq 2n$ を満たす素数 $p$ が存在する. 命題の証明. $n \geq 2$ のとき $n!$ は素因数を少なくとも1つもつので, 最大の素因数 …

開成中算数 2015 を解き直してみた

この前ちょうど中学入試があって「そういえば当時の自分は算数で結構テンパったなぁ」と思い返したので、5年がけのリベンジをしてみました。 グダグダ書いてあるが、大事なのは $\langle (\cdot, \cdot) \rangle \colon \mathbf{Z} \times [0,1)_{\mathbf{Q}…

TeXで複数個のタイトルを表示する方法:titling パッケージ

TeX

たとえば複数人で数学の雑誌を作ろうとする際に、タイトルを複数表示させることで体系的に管理したくなるのだが、普通にやると一つしか表示されなくて悲しくなるはず。いろいろ頑張っても良いし自分は今までそうしてきたが、頑張って探してみたら良いものを…

JOL2017-3 モンゴル語解説

問題文は iolingjapan2017.pdf - Google ドライブ にあるが、まとめると 「流れ」 「日」 「水」 数字の「二」 数字の「八」 動詞の終止形語尾「(〜す)る」 「僕(は)」 「僕の」 「僕を」 「僕から」 にあたるモンゴル語を次の対訳から抜き出す、という…

indexes と indices の違い

index はラテン語由来なので複数形はラテン語系の屈折と -es をつける英語由来の屈折とに分かれる。ODEでは plural indexes or especially in technical use indices, CamGEL (p. 1592) では With index the two plurals usually correspond to different se…

古文の同格構文と英語の関係詞節の類似性

古文で同格の「の」という用語を一度は聞いたことがあるだろう。有名なのが「白き鳥の、嘴と脚と赤き、鴫の大きさなる、水の上に遊びつつ魚を食ふ。」(伊勢9)だ。以前より、古文の同格構文は英語の関係詞節に類似が見られると考えており、ネット上にもごく…

as ~ as はイコールではない!

追記 普通に CamGEL pp.1100-1101 に説明がありました……ちゃんと通読して暗記しないとダメだなぁやっぱり…… In the absence of indications to the contrary, a scalar comparison of equality is interpreted as “at least equal”, not “exactly equal”: [3…