空論上の砂、楼閣上の机。

The Castle of Indolence

三体問題におけるラグランジュ点

数年前に「古典力学が古典になったことは一度もない」という講演のスライドが話題になっていたことをタイトルのインパクトからふと思い出したのですが, 久しぶりに眺めていたらなんと三体問題が大学入試として出題されているらしいことが判明したので早速覗…

クリティーク

昔、簡単なディベートに参加させてもらったとき、一体どこから議論を始めたらいいのか分からずとりあえず適当なことを言ってお茶を濁した思い出がありました。それ以来ディベートには誘われても乗り気にはならず外野からたまに眺めていたのですが、同じ外野…

最近の興味

最近、理学に対する興味を少しずつ失っているような気がしているのですが、その一方で精神医学に対する興味を強く抱き直しています。特に次の記事をご覧ください。 kokoro.squares.net 私自身はそうだと診断されたことはないのですが、特にADHDとASDについて…

相対名辞

少し前にある後輩が「他人の家族に対して『父と娘の関係』ということがあるが、これはどこからの視点なんだろうと思うことがある(単に第三者だろと言われたらそうなんだけど)」と述べていたのですが、実は私も十数年前から全く同じ疑問を抱いていたのでラ…

コンデンサーへの導体板の挿入

はじめに 電磁気学を教えていたときにボヤいた記事をふと思い出しました. www.all-for-nothing.com ここで「合成容量」について色々と書きましたが, 実際に練習問題として解いてもらったものを紹介してみます. 面積 $L ^ 2$ の正方形の極板でできた, 電気容…

右下がり直線型サイクルの熱効率

問題. (2000年 東工大物理 第2問) 滑らかに動くピストンのついた円筒容器に単原子分子理想気体を入れ, 図に示す通り, 圧力 $p$ と体積 $V$ を A の状態から B, C の状態を経て再び A の状態にもどるように変化させた. ただし, すべての区間は直線に沿っての…

偽金貨問題とエントロピー

問題. (偽金貨問題) $N$ 枚の金貨のうち $1$ 枚が重さの異なる偽物である. 天秤を何回使えば判別可能か? $n$ 枚目の金貨が重いという結果を $n _ +$, 軽いという結果を $n _ -$, 等しいという結果を $0$ と表すとき, 確率空間は $\Omega=\lbrace 0,1 _ +,1 …

メネラウス・チェバの定理の逆は成り立たない?

舞台設定 線分 $AB$ の長さを $\overline{AB}$ と書きます. 点 $A_1,\dots,A_n$ が一直線上にあることを, $A_1,\dots,A_n$ が共線であると言います. 直線 $l_1,\dots,l_n$ が一点で交わることを, $l_1,\dots,l_n$ が共点であると言います. 点 $P$, $Q$, $R$ …

コンデンサーについての所感

最近, 家庭教師の準備でコンデンサーなど物理を頑張っていたのですが, 色々と思うところがあったので適宜メモしておきます. Gauss の法則 まず Gauss の法則を電気力線の本数に帰着させている参考書が多くて非常に困る. おそらく『新・物理入門』の孫引きな…

ドリフト

電磁場中における質量 $m$, 電荷 $q$ の荷電粒子の運動を考察する. 断りのない限り, $q$ は正負いずれの値も取りうるものとする. 磁束密度 $\vec{B}$ は, 時間的に変化することはないとする. また, 磁束密度 $\vec{B}$ の向きは, 図1のように紙面の裏から表…

くだらない民間語源

最近まで知らなかったのですが、「くだらない」という語には二つの民間語源が存在しているようです。 一つ目は「百済に無い」というくだらないトンチですが、意外と信じている人が多いようです。これが間違っていることは「くだらぬ」という活用が存在するこ…

接点の個数と接線の本数について

よく数Ⅱの $3$ 次関数で「接点の個数と接線の本数が一致するから……」という “おまじない” を書くことが多いと思いますが、それと同時に $4$ 次関数などでは一般に成り立たないということもよく注意されていると思います。それは相異なる $2$ つ以上の点で接…

英文解体新書 5.2 例題2 への補足: 平沢 (2014) から見るクジラ構文

本稿は、北村 (2019) の 5.2 例題2 の説明についての補足を個人的な備忘録としてメモしたものです。その理解や訳文は 100% 正しいものであり、説明も決して間違ったものではありません。ある種の学習者にとっては、しかしながら、混乱や誤解を生じさせうる説…

同心ソレノイドの相互インダクタンスの相反定理

本稿はまだ考察中のトピックを一旦整理するために書かれたメモ書きなので, 文体は全く整っておりません. 今後また何か進展があれば根本的な加筆修正を行います. 定理1. (相互インダクタンスの相反定理) 任意のコイル $C_i$ と $C_j$ に対して, その相互イン…

なぜRNAはTではなくUを持つのか?

高校一年の生物の授業でDNAの塩基はAGCTで糖はデオキシリボースなのにRNAの塩基はAGCUで糖はリボースだと習ったのですが、なぜTとUが違うのか一切説明がなされておらず全く意味が分からなかったのでネットで調べてみてもこれしか良い資料が見当たらず、しか…

Basel 問題

問題1. (1990年 東工大後期 第2問) $n$ を $2$ 以上の整数とする. (1) $n-1$ 次多項式 $P_n(x)$ と $n$ 次多項式 $Q_n(x)$ ですべての実数 $\theta$ に対して $$\begin{aligned} \sin(2n\theta)&=n\sin(2\theta)P_n(\sin^2\theta),\\ \cos(2n\theta)&=Q_n(\s…

望遠鏡和による (等差)×(等比) 型数列の和の導出

数列 $\lbrace (ak+b)r ^ k\rbrace$ (ただし $r\neq1$ とする) の和 $$S _ n=\sum _ {k=1} ^ n(ak+b)r ^ k$$ を求めることをよく考える機会があります. 一般的には「公比を掛けて差を取る」という方法が紹介されていますが, これは添字の管理が非常に (特に…

まだロピタルの定理で消耗してるの?

メモを整理していたら, 大昔に友人に $$\lim _ {x\to0}\frac{x-\sin{x}}{x ^ 3}$$ を l’Hôpital の定理を使わずに教えてくれと聞かれたことをふと思い出しました. 当時の自分は次の画像を作って送ったようです. こんなパズルみたいな計算は嫌なので l’Hôpita…

受験数学における束 (pencil) について

束 (pencil) とは射影幾何学に由来する概念であり, もともとは Desargues の用いた ordonnance に端を発していますが, 代数幾何学における 1 次元の線形系も線形束 (linear pencil) と呼ばれています. ここではそのような射影幾何的・代数幾何的な背景には立…

Feynman の微分法 +α

Feynman は複雑な関数を微分する際に対数微分法を応用した手法を考案しました. 本稿では少しの改善を加えて具体例とともに Feynman の微分法を紹介します.

2次方程式の解の公式と対称性

$2$ 次方程式 $ax ^ 2+bx+c=0$ の解を求める際は一般的に平方完成をするのですが, これは些かテクニカルなきらいがあり, なぜそのような発想になるのかが一見すると自明ではありません. しかしながら, この方程式を解くことは実はある種の対称性と関係してお…

極座標における回転体の体積

問題1. (2012年慶医第4問・一部省略) (1) $0\leqq\alpha0$ とする. 極座標 $(r,\theta)$ に関する条件 $$0\leqq r\leqq R,\ \alpha\leqq\theta\leqq\beta$$ により定まる図形を $x$ 軸のまわりに回転させて得られる立体の体積を $T$ とする. $T$ を $\alpha$…

Markov 兄弟の不等式

定理1. (Markov 兄弟の不等式) $\lVert f\rVert\coloneqq\displaystyle\max_{-1\leqq x\leqq1}|f(x)|$ と定め, $p$ を $n$ 次以下の多項式, $T_n(x)$ を第一種 Chebyshev 多項式とすると, $$\lVert p^{(k)}\rVert\leqq\lVert T_n^{(k)}\rVert\lVert p\rVert$…

前文の内容全体を意味上の主語とする結果の分詞構文

By its nature, the expensive habit is not only physically gratifying but also beyond the financial reach of all but a fortunate few, thus making it a treat for the mind as well as the body. There is no lasting satisfaction to be gained fro…

ダイアモンドの二項演算 (AMC 10A 2016 #23・USA TSTST 2019-1)

問題1. (AMC 10A 2016 #23) A binary operation $\operatorname{\diamondsuit}$ has the properties that $a\operatorname{\diamondsuit}(b\operatorname{\diamondsuit}c) = (a\operatorname{\diamondsuit}b)\cdot c$ and that $a\operatorname{\diamondsuit…

すべての鋭角三角形に対し各面がそれと合同な四面体が存在すること

問題. (1999年 京大後期理系 第4問) $\triangle{ABC}$ は鋭角三角形とする. このとき, 各面すべてが $\triangle{ABC}$ と合同な四面体が存在することを示せ. 注. すべての面が合同な四面体のことを等面四面体と呼ぶ. 証明. $\triangle{ABC}$ は鋭角三角形な…

鏡像法

平板導体に電荷を近づけると, その付近の導体表面に反対符号の電荷が誘導されて, 導体と電荷の間に静電気力が働く. この力 $\overrightarrow{F}$ を求めるため, 以下の設問の順にしたがって調べてみよう. まず, 距離 $2a$ だけ離れた 2 点 Q, Q' にそれぞれ…

「偉いのでXした」構文

世の中にはオタク構文なるものが絶えず生成されていますが、その中でもあまり脚光を浴びていないのに知らず知らずのうちに影響力を持っていると筆者が考えるものとして「偉いのでXした」という構文があります。実例としてはTwitterを見るしかなく、2020年11…

二重鉤括弧の書き方

二重鉤括弧とは『』のことですが、板書などでは のように厚みが出ることで不格好な感じになることが多いかと思います。ほとんどの場合は のように一筆書きで書いているからです。字の綺麗さを気にするようになった中学生のあたりから折に触れてこの問題に悩…

Lagrange 補間

問題1. (1961年 東大文理共通 第2問) $x$ の四次式 $f(x)$ において $$\begin{aligned} f(-0.2)&=2.226\\ f(-0.1)&=2.460\\ f(0)&=2.718\\ f(0.1)&=3.004\\ f(0.2)&=3.320 \end{aligned}$$ であるとき, $f'(0)$ を求めよ. もちろん $f(x)=ax ^ 4+bx ^ 3+cx ^…